Numere prime
Moderators: Laurian Filip, Filip Chindea, maky, Cosmin Pohoata
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
Numere prime
Sa se arate ca daca p si q sunt doua numere naturale prime atunci numarul \( p^{2q}+q^{2p} \) nu este prim.
Vad ca asta a ramas (surprinzator 
) cam mult timp nerezolvata.
Daca \( p^{2q}+q^{2p} \) ar fi prim cu necesitate unul din numerele \( p,q, \) fie el \( p \) trebuie sa fie \( 2, \) in timp ce \( q \) trebuie sa fie impar.
Dar \( 4^q+q^4=4\cdot 2^{2(q-1)}+q^4. \) Cum \( q \) este impar, ultima expresie este de forma \( a^4+4b^4 \) care se descompune conform identitatii Sophie-Germain in \( (a^2+2b^2-2ab)(a^2+2b^2+2ab), \) evident un numar compus.
) cam mult timp nerezolvata.Daca \( p^{2q}+q^{2p} \) ar fi prim cu necesitate unul din numerele \( p,q, \) fie el \( p \) trebuie sa fie \( 2, \) in timp ce \( q \) trebuie sa fie impar.
Dar \( 4^q+q^4=4\cdot 2^{2(q-1)}+q^4. \) Cum \( q \) este impar, ultima expresie este de forma \( a^4+4b^4 \) care se descompune conform identitatii Sophie-Germain in \( (a^2+2b^2-2ab)(a^2+2b^2+2ab), \) evident un numar compus.