Numarul solutiilor unei ec. intr-un grup cu 2009 elemente

[Radu Titiu]

Daca \( G \) este grup cu \( |G|=2009 \), atunci aflati numarul solutiilor ecuatiei \( x^{49}=e. \)

[Marius Mainea]

Dupa ce se arata ca G e abelian (\( |G|=7^2\cdot 41 \)) fie \( H=\{x\in G | x^{49}=e\} \).

Atunci H este subgrup al lui G si contine toate 7-subgrupurile Sylow ale lui G, deci \( |H|\ge 7^2 \).

Pe de alta parte din teorema lui Lagrange |H| divide |G| si \( H\neq G \) (G contine si elemente de ordin 41 (Cauchy)), deci |H|=49.

[bae]

toate 7-subgrupurile Sylow ale lui G

Un grup abelian finit are un singur p-subgrup Sylow, pentru orice p prim.

De fapt, in acest caz, se arata mai intai ca G are un singur 7-subgrup Sylow si un singur 41-subgrup Sylow si apoi rezulta ca este abelian.