Z nu poate fi obtinut ca grup Galois
-
Dragos Fratila
- Newton
- Posts: 313
- Joined: Thu Oct 04, 2007 10:04 pm
Z nu poate fi obtinut ca grup Galois
Demonstrati ca \( \mathbb{Z} \) nu poate fi obtinut ca grup Galois al niciunei extinderi \( K\supset k \).
"Greu la deal cu boii mici..."
-
Alexandru Chirvasitu
- Euclid
- Posts: 47
- Joined: Sat Oct 06, 2007 4:53 pm
Grupurile Galois sunt profinite, deci în particular au structură de grup compact. Pe de altă parte, un grup numărabil infinit nu poate fi compact (toate grupurile topologice le presupun Hausdorff). Asta se poate demonstra în mai multe feluri.
O idee: se consideră măsura Haar pe grupul în cauză, presupus compact şi numărabil infinit. Măsura unui punct poate fi ori nulă, caz în care măsura întregului grup ar fi nulă (grupul e reuniune numărabilă de mulţimi cu un element) şi avem contradicţie, ori strict pozitivă, caz în care grupul ar avea măsură infinită, din nou absurd.
Altă idee de demonstraţie pentru afirmaţia despre grupuri compacte ar fi asta: e o chestiune elementară de topologie că un spaţiu compact Hausdorff perfect e nenumărabil. Cum un grup topologic e spaţiu omogen (adică pentru orice două puncte există un homeomorfism care le duce unul peste altul), ori toate punctele sunt puncte limită, adică grupul compact în cauză e perfect şi deci nenumărabil, ori toate punctele sunt izolate (deci mulţimi deschise), de unde rezultă imediat că grupul e finit.
O idee: se consideră măsura Haar pe grupul în cauză, presupus compact şi numărabil infinit. Măsura unui punct poate fi ori nulă, caz în care măsura întregului grup ar fi nulă (grupul e reuniune numărabilă de mulţimi cu un element) şi avem contradicţie, ori strict pozitivă, caz în care grupul ar avea măsură infinită, din nou absurd.
Altă idee de demonstraţie pentru afirmaţia despre grupuri compacte ar fi asta: e o chestiune elementară de topologie că un spaţiu compact Hausdorff perfect e nenumărabil. Cum un grup topologic e spaţiu omogen (adică pentru orice două puncte există un homeomorfism care le duce unul peste altul), ori toate punctele sunt puncte limită, adică grupul compact în cauză e perfect şi deci nenumărabil, ori toate punctele sunt izolate (deci mulţimi deschise), de unde rezultă imediat că grupul e finit.