Functie bijectiva f:N->N si serie o convergenta

[Cezar Lupu]

Exista o bijectie \( f:\mathbb{N}\to\mathbb{N} \) astfel incat seria \( \sum_{n\geq 1}\frac{f(n)}{n^2} \) sa fie convergenta?

[Liviu Paunescu]

Nope! Nu exista.

Fie \( f:\mathbb{N}\to\mathbb{N} \) bijectie. Am sa arat ca acea suma este mai mare decat \( \sum_{k=1}^m\frac1m \) pentru orice \( m \) si atunci este divergenta.

Fie \( n>0 \) astfel incat \( f(k)=k \) pentru \( k<n \) si \( f(n)>n \). In cel mai rau caz \( n=1 \). Daca nu exista un astfel de \( n \) atunci \( f \) este identitatea si stim cu totii ce se intampla cu identitatea.

Exista \( p>n \) astfel incat \( f(p)=n \). Vreu sa permut valorile lui \( f \) in \( n \) si \( p \). Se verifica usor ca: \( \frac{f(n)}{n^2}+\frac{f(p)}{p^2}>\frac{f(p)}{n^2}+\frac{f(n)}{p^2} \)

Deci suma functiei \( f \) este mai mare decat cea dupa transpozitia \( (n,p) \), transpozitie ce il transforma pe \( n \) in punct fix. Aplicand succesiv aceste transpozitii putem transforma primele \( m \) puncte in puncte fixe pentru \( f \) de fiecare data scazand suma.

[pevcipierdut]

Si mai simplu: presupui ca exista f o astfel de bijectie, notezi \( S_n \) sumele partiale ale seriei. Acum faci \( S_{2n}-S_n=\sum_{n+1}^{2n}\frac{f(k)}{k^2}\geq \frac{1}{4n^2}\cdot \sum_{n+1}^{2n} f(k) \).
Evident cum f bijectie de la N la N, suma de la n+1 la 2n din f(k) este cel putin 1+2+3+...+n-1=n(n-1)/2. Asadar \( S_{2n}-S_n\geq\frac{n-1}{8n} \), deci S(n) nu e sir Cauchy, deci nu converge, deci seria diverge.

[spix]

Am mai vazut pe undeva problema asta... cartea de Mortici parca...
Din memorie: daca folosim celebra inegalitate a lui Cauchy se arata ca seria e nemarginita...

[Tiberiu Popa]

Cred ca se referea la \( \left( \sum_{k=1}^n \frac{f(k)}{k^2} \right) \left( \sum_{k=1}^n \frac1{f(k)} \right) \geq \left( \sum_{k=1}^n \frac1{k} \right)^2 \).