Suma de subspatii inchise = dens, dar nu inchis

[Dragos Fratila]

Consideram \( L^2(-\pi,\pi) \) si notam \( e_n=e^{int}\in L^2,\ n\in\mathbb{Z} \). Definim \( f_n=e_{-n}+ne_n, n=1,2,\ldots \).

Fie \( X_1 \) cel mai mic subspatiu liniar inchis care contine \( e_0,e_1,\ldots \) si fie \( X_2 \) cel mai mic subspatiu liniar inchis care contine \( f_1, f_2,\ldots \).

Demonstrati ca \( X_1+X_2 \) este dens in \( L^2 \), dar nu este inchis.

[aleph]

Ar mai fi de adăugat că \( X_1 \cap X_2 = \{0\} \).
( Presupun că problema are 0 stele ).