mateforum.ro

Fie \( a,b \in \mathbb R \). Să se determine funcţiile \( f: \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb R} \) care îndeplinesc simultan condiţiile:
a) \( f(x+1)=f(x) +1, \ \forall x \in {\mathbb R}; \)
b) \( f(x)=b, \ \forall x \in [a,a+1). \)
Florian Dumitrel, OLM 2008 Olt

Se demonstreaza usor prin inductie ca \( f(x+k)=f(x)+k,\ \forall x \in \mathbb{R},\ \forall k \in \mathbb{Z} \) si \( f(x)=b+k,\ \forall x \in [a+k,a+k+1) \).

Cum \( \mathbb{R}=\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [a+k,a+k+1) \) problema este gata.

Mai pe scurt, \( f(x)=[x-a]+b \)