Functie cu anumite proprietati implica morfism de inele

[Doru Popovici]

Fie A un inel comutativ astfel incat \( 1+1,\ 1+1+1 \) sunt inversabile si \( f:A\to A \) o functie cu urmatoarele proprietati:
1. \( f(1)=1 \)
2. \( f(x+y)=f(x)+f(y) \), oricare ar fi x,y din A
3. \( f(x^3)=f^3(x) \), oricare ar fi x,y din A.

Demonstrati ca \( f(xy)=f(x)f(y) \) oricare ar fi x,y din A.

Cristinel Mortici

[Beniamin Bogosel]

Fie \( x \in A \). Atunci \( f((x+1)^3)=f(x^3+3x^2+3x+1)=f^3(x+1)=(f(x)+1)^3=f^3(x)+3f^2(x)+3f(x)+1\Rightarrow \)
\( f(x^3)+3f(x^2)+3f(x)+1=f^3(x)+3f^2(x)+3f(x)+1\Rightarrow 3f(x^2)=3f^2(x) \).
Deoarece 3 e inversabil rezulta ca \( f(x^2)=f^2(x) \). Aceasta proprietate are loc pentru orice \( x \in A \).
Avem \( f((x+y)^2)=f^2(x+y)\Rightarrow f(x^2 +2xy+y^2)=(f(x)+f(y))^2=f^2(x)+2f(x)f(y)+f^2(y)\Rightarrow \)
\( f(x^2)+2f(xy)+f(y^2)=f^2(x)+2f(x)f(y)+f^2(y)\Rightarrow 2f(xy)=2f(x)f(y),\ \forall x,y \in A \).
Deoarece 2 e inversabil in \( A \) rezulta ca \( f(xy)=f(x)f(y),\ \forall x,y \in A \), adica ceea ce trebuia demonstrat.