Limita a doua siruri

[Radu Titiu]

Fie sirurile definite prin \( x_{0} >-1 \) si \( y_{0}>-1 \) definite prin \( x_{n+1}=\frac{1}{1+y_{n}} \) si \( y_{n+1}=\frac{1}{1+x_{n}} \)

Sa se arate ca sirurile sunt convergente si sa se calculeze limita lor.

[cosmin_pit]

Fie f(x) = \( \frac{1}{1+x} \). Se observa usor ca \( x_{n} \) = f(f(\( x_{n-2} \))) si similar pentru sirul y. Totul se reduce la studiul subsirurilor de rang par si rang impar. Trebuie practic demonstrat ca au aceeasi limita. Se poate observa ca termenii de rang mai mari ca 0 sunt pozitivi. Va fi suficient de studiat sirul general \( z_{n} \)=f(f(\( z_{n-1} \))) cu \( z_{0} \) > 0.
De observat ca f(f(x)) = 1- \( \frac{1}{x+2} \) si este crescatoare. De asemenea sirul z are elementele in intervalul (0,1). Sirul z va fi monoton: crescator daca \( z_{0} \)<\( z_{1} \) si descrescator altfel. (se aplica fof inegalitatii). Cum este si marginit reiese ca este convergent. Trecand la limita obtinem ecuatia f(f(L)) = L ce conduce la o ecuatie de grad doi si alegem solutia pozitiva:
L = \( \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \)