Fie X o varietate algebrica si D un divizor asociat unei sectiuni s in \( L^{\otimes m} \) pentru un m si un fibrat in drepte L. Atunci exista o aplicatie finita, plata si surjectiva \( f:Y\to X \) asa ca \( f^*L \) sa contina o sectiune s1 ale carei zerouri sunt un divizor D' care este trimis izomorf de f peste D, iar \( (s1)^m=f^*s \). Daca X si D sunt netede, atunci si Y si D' sunt netede.
Cazul afin: Fie X varietate afina si D divizorul unei functii f regulata pe X. Atunci Y este divizorul din \( X\times \mathbb {A}^1 \) descris de ecuatia \( T^m-f=0 \), iar D' este dat in Y de \( T=0 \).
Este o acoperire finita a lui X care se ramifica exact peste D.
Acoperiri ciclice
Moderator: Mihai Fulger
-
Mihai Fulger
- Pitagora
- Posts: 61
- Joined: Tue Nov 06, 2007 4:24 am
- Location: Ann Arbor, Michigan
-
Alexandru Chirvasitu
- Euclid
- Posts: 47
- Joined: Sat Oct 06, 2007 4:53 pm
În general, pentru o vareitate algebrică \( Z,\ K(Z) \) va fi corpul funcţiilor raţionale pe \( Z \), sau, altfel spus, inelul local al punctului generic al lui \( Z \). Cu \( K(Z)^* \) o să notez fascicolul constant multiplicativ al funcţiilor raţionale nenule pe \( Z \). Orice fascicol inversabil pe \( Z \) poate fi privit ca un subfascicol al acestui \( K(Z)^* \).
Fie \( U_i=\mbox{Spec}\ A_i \) deschişi afini ai lui \( X \) pe care \( \mathcal L \) e liber, generat respectiv de \( f_i^{-1}\in K(X) \); exponentul \( -1 \) sigur că putea fi omis, dar prefer notaţia asta pentru că oricum, aici sau mai jos, un semn \( - \) tot o să apară. Secţiunea \( s \) poate fi şi ea privită ca un element nenul din corpul \( K(X) \). La nivelul punctelor generice, morfismul căutat \( f:Y\to X \) o să corespundă incluziunii lui \( K(X) \) în extensia sa \( K(Y) \) obţinută prin adjuncţionarea unei rădăcini \( s_1 \) a ecuaţiei \( T^m=s \) - am notat corpul ăsta cu \( K(Y) \) în cuda faptului că de fapt nu am definit varietatea \( Y \) încă. Nu e important aici, dar o să observ că de fapt am adjuncţionat toate rădăcinile astea, pentru că lucrăm peste un corp algebric închis, care conţine deci toate rădăcinile unităţii.
Morfismul \( f \) va fi construit separat pe deschişii \( U_i \) astfel încât să se lipească aşa cum trebuie pe intersecţiile deschişilor. Divizorul \( D \) e determinat pe \( U_i \) de \( f_i^ms\in A_i \). Deasupra lui \( U_i \) alegem morfismul \( f \) astfel încât să corespundă incluziunii \( A_i\to B_i \), unde \( B_i \) este subinelul lui \( K(Y) \) obţinut prin adjuncţionarea lui \( f_is_1 \) la \( A_i \). Pe intersecţiile \( U_i\cap U_j \) se fac identificările evidente, pentru că acolo \( B_i=B_j \): într-adevăr, pe intersecţia \( U_i\cap U_j \) raportul \( \frac{f_i}{f_j} \) este un element inversabil din \( A_i \).
Morfismul \( f \) rezultat e finit şi surjectiv pentru că din moment ce \( (f_is_1)^m\in A_i \), algebra \( B_i \) e întreagă peste \( A_i \). Cred că toate afirmaţiile despre secţiuni se verifică uşor. De asemenea, ultima afirmaţie despre ce se întâmplă când \( X \) şi \( D \) sunt netede se demonstrează imediat, observând că local construcţia de mai sus e de tipul celei din mesajul lui mfulger şi folosind criteriul care spune că o varietate algebrică afină e netedă dacă şi numai dacă Jacobianul polinoamelor care definesc varietatea are rang maxim (adică dimensiunea spaţiului afin în care lucrăm minus dimensiunea varietăţii). Poate singurul lucru care e mai puţin clar e faptul că morfismul \( f \) construit mai sus e plat.
Trebuie să arătăm, păstrând notaţiile de mai sus, că algebra \( B_i \) e plată peste \( A_i \). O să omit indicele \( i \), pentru că în cele ce urmează nu face decât să mă încurce. Avem \( B=A[t] \) cu \( t^m\in A \). Dacă o putere a unei funcţii raţionale e regulată peste tot, atunci însăşi funcţia respectivă trebuie să fie regulată peste tot. Asta înseamnă că dacă o putere \( t^p \) aparţine corpului de fracţii \( K \) al lui \( A \), atunci aparţine şi lui \( A \). De asemenea, deoarece \( K \) conţine corpul de bază şi deci toate rădăcinile unităţii, polinomul minimal al lui \( t \) peste \( K \) e de forma \( T^p-r=0 \). Tocmai am văzut că în acest caz elementul \( r \) aparţine de fapt lui \( A \), şi deci \( B=A[t] \) o să fie liber peste \( A \) de rang egal cu gradul lui \( t \) peste \( K \). În particular, \( B \) e \( A \)-plat.
Fie \( U_i=\mbox{Spec}\ A_i \) deschişi afini ai lui \( X \) pe care \( \mathcal L \) e liber, generat respectiv de \( f_i^{-1}\in K(X) \); exponentul \( -1 \) sigur că putea fi omis, dar prefer notaţia asta pentru că oricum, aici sau mai jos, un semn \( - \) tot o să apară. Secţiunea \( s \) poate fi şi ea privită ca un element nenul din corpul \( K(X) \). La nivelul punctelor generice, morfismul căutat \( f:Y\to X \) o să corespundă incluziunii lui \( K(X) \) în extensia sa \( K(Y) \) obţinută prin adjuncţionarea unei rădăcini \( s_1 \) a ecuaţiei \( T^m=s \) - am notat corpul ăsta cu \( K(Y) \) în cuda faptului că de fapt nu am definit varietatea \( Y \) încă. Nu e important aici, dar o să observ că de fapt am adjuncţionat toate rădăcinile astea, pentru că lucrăm peste un corp algebric închis, care conţine deci toate rădăcinile unităţii.
Morfismul \( f \) va fi construit separat pe deschişii \( U_i \) astfel încât să se lipească aşa cum trebuie pe intersecţiile deschişilor. Divizorul \( D \) e determinat pe \( U_i \) de \( f_i^ms\in A_i \). Deasupra lui \( U_i \) alegem morfismul \( f \) astfel încât să corespundă incluziunii \( A_i\to B_i \), unde \( B_i \) este subinelul lui \( K(Y) \) obţinut prin adjuncţionarea lui \( f_is_1 \) la \( A_i \). Pe intersecţiile \( U_i\cap U_j \) se fac identificările evidente, pentru că acolo \( B_i=B_j \): într-adevăr, pe intersecţia \( U_i\cap U_j \) raportul \( \frac{f_i}{f_j} \) este un element inversabil din \( A_i \).
Morfismul \( f \) rezultat e finit şi surjectiv pentru că din moment ce \( (f_is_1)^m\in A_i \), algebra \( B_i \) e întreagă peste \( A_i \). Cred că toate afirmaţiile despre secţiuni se verifică uşor. De asemenea, ultima afirmaţie despre ce se întâmplă când \( X \) şi \( D \) sunt netede se demonstrează imediat, observând că local construcţia de mai sus e de tipul celei din mesajul lui mfulger şi folosind criteriul care spune că o varietate algebrică afină e netedă dacă şi numai dacă Jacobianul polinoamelor care definesc varietatea are rang maxim (adică dimensiunea spaţiului afin în care lucrăm minus dimensiunea varietăţii). Poate singurul lucru care e mai puţin clar e faptul că morfismul \( f \) construit mai sus e plat.
Trebuie să arătăm, păstrând notaţiile de mai sus, că algebra \( B_i \) e plată peste \( A_i \). O să omit indicele \( i \), pentru că în cele ce urmează nu face decât să mă încurce. Avem \( B=A[t] \) cu \( t^m\in A \). Dacă o putere a unei funcţii raţionale e regulată peste tot, atunci însăşi funcţia respectivă trebuie să fie regulată peste tot. Asta înseamnă că dacă o putere \( t^p \) aparţine corpului de fracţii \( K \) al lui \( A \), atunci aparţine şi lui \( A \). De asemenea, deoarece \( K \) conţine corpul de bază şi deci toate rădăcinile unităţii, polinomul minimal al lui \( t \) peste \( K \) e de forma \( T^p-r=0 \). Tocmai am văzut că în acest caz elementul \( r \) aparţine de fapt lui \( A \), şi deci \( B=A[t] \) o să fie liber peste \( A \) de rang egal cu gradul lui \( t \) peste \( K \). În particular, \( B \) e \( A \)-plat.