Functie derivabila, pozitiva si neconstanta

[Bogdan Posa]

Fie f o functie derivabila, pozitiva si neconstanta pe \( [0,1] \) astfel incat \( f(0)=0 \). Aratati ca exista \( c \in [0,1] \) astfel incat \( f(c) < f^{\prime} (c) \).

[Cezar Lupu]

Fie f o functie derivabila si neconstanta pe \( [0,1] \) astfel incat \( f(0)=0 \). Aratati ca exista \( c \in [0,1] \) astfel incat \( f(c) < f^{\prime} (c) \).

Hmmm, interesanta problema.

Solutie.

Consideram functia auxiliara \( h:[0,1]\to\mathbb{R} \) derivabila, definita prin \( h(t)=e^{-t}f(t) \). Un calcul simplu arata ca \( h\prime(t)=e^{-t}(f\prime(t)-f(t)) \). Sa presupunem prin reducere la absurd ca \( f\prime(t)\leq f(t)\forall t\in (0,1) \). Atunci \( h\prime(t)\leq 0 \), deci \( h \) este descrescatoare, \( h(t)\leq h(0)=0 \), contradictie cu faptul ca \( h \) este pozitiva. \( \qed \)


Observatie.

Incercati sa rezolvati ecuatia diferentiala \( y\prime-y=-\psi \).