Ecuatie cu solutii depinzand de n parametri

[Diana Putan]

Consideram ecuatia:

\( x^n+a_{1}x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_{n}=0. \)

Fie \( a_{1}^{0},\ldots,a_{n}^{0} \) numere reale pentru care ecuatia de mai sus are \( n \) radacini reale distincte. Demonstrati ca exista o vecinatate a punctului \( (a_{1}^{0},\ldots,a_{n}^{0}) \) in \( \mathbb{R}^n \) in care ecuatia de mai sus are \( n \) solutii \( x_{1}(a_{1},\ldots,a_{n}),\ldots,x_{n}(a_{1},\ldots,a_{n}) \) de clasa \( C^{\infty} \) in parametrii \( a_{1},\ldots,a_{n} \).

Admitere SNSB, 2002

[Consonant]

Consideram functia de clasa \( C^\infty \) definita prin \( F=(F_1,\ldots,F_n):\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n \)
\( \begin{equation*} F_j(x_1,\ldots,x_n,a_1,\ldots,a_n)=x_j^n+a_{1}x_j^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x_j+a_n\end{equation*} \) pentru fiecare \( j=1,\ldots,n \). Notam \( a^0=(a_1^0,\ldots,a_n^0) \) si fie \( x^0=(x_1^0,\ldots,x_n^0) \) vectorul avand componentele cele \( n \) radacini distincte ale polinomului \( p_{a^0}(t)=t^n+a_1^0t^{n-1}+\cdots +a_{n-1}^0t+a_n^0 \). Avem \( F(x^0;a^0)=0 \) si

\( \frac{\partial F_j}{\partial x_k}=0 \) pentru \( j\neq k \) si \( \frac{\partial F_j}{\partial x_k}=p^\prime_a(x_j) \) pentru \( j=k \).

Rezulta ca matricea Jacobiana este diagonala iar Jacobianul \( \frac{\partial(F_1,\ldots,F_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}=\bigprod_{k=1}^n p^\prime_a(x_k) \) este nenul in \( (x^0;a^0) \) deoarece radacinile polinomului \( p_{a^0} (t) \) sunt toate distincte, deci derivata polinomului nu se anuleaza pentru nici unul dintre \( x_1^0,\ldots,x_n^0 \). In consecinta, aplicand Teorema Functiilor Implicite, exista o vecinatate deschisa \( V\subseteq \mathbb{R}^n \) a vectorului \( a^0 \) si o functie \( \phi:V\rightarrow \mathbb{R}^n \) de clasa \( C^\infty \), cu proprietatea \( F(\phi(a);a)=0 \) pentru toti \( a\in V \). Mai trebuie observat ca, micsorand eventual vecinatatea \( V \), componentele functiei \( \phi \) sunt toate diferite, deci reprezinta toate radacinile polinomului dat.