Virgil Nicula wrote:Problema propusa. Fie punctul \( D \) interior triunghiului \( ABC \) pentru care \( \left\|\ \begin{array}{c}
\widehat {DAB}\equiv\widehat {DBC}\\\\
\widehat {DAC}\equiv\widehat {DCB}\end{array} \) . Sa se arate :
1. Dreapta \( AD \) trece prin mijlocul \( M \) al laturii \( [BC] \) .
2. Daca punctul \( E \) este simetricul punctului \( A \) fata de punctul \( M \) , atunci patrulaterul \( BDCE \) este inscriptibil.
3. Daca cercurile \( w_b=C(O_b,r_b) \) , \( w_c=C(O_c,r_c) \) sunt circumscrise
triunghiurilor \( ADB \) , \( ADC \) respectiv, atunci exista relatia \( \frac {r_b}{r_c}=\left(\frac {AB}{AC}\right)^2 \) .
4. Daca dreptele \( EB \) , \( EC \) intalnesc din nou cercurile \( w_b \) , \( w_c \) in punctele
\( U \) , \( V \) respectiv, atunci varful \( A \) apartine dreptei \( UV \) .
5. Semidreapta \( [EA \) este simediana in triunghiul \( UEV \) .
6. .............
7. .............
Concurente, inscriptibilitate, metrica, simediana etc.
Moderators: Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Filip Chindea
-
Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
Concurente, inscriptibilitate, metrica, simediana etc.
-
Beniamin Bogosel
- Co-admin
- Posts: 710
- Joined: Fri Mar 07, 2008 12:01 am
- Location: Timisoara sau Sofronea (Arad)
- Contact:
Daca consideram cercurile circumscrise triunghiurilor \( ABD,\ ACD \), din rela\c tia dat\u a pentru unghiurile respective rezulta ca aceste cercuri sunt tangente la \( BC \).
Cu aceasta remarca punctul 1. este rezolvat. Daca consideram \( M \) intersectia lui \( AD \) cu \( BC \), atunci fiindca punctul \( M \) are puteri egale fata de cele doua cercuri rezulta ca \( MB^2=MD\cdot MA=MC^2 \), deci \( M \) este mijlocul lui \( BC \).
Pentru punctul 2. folosim ipoteza care spune ca \( m(\widehat{DBC})+m(\widehat{DCB})=m(\hat{A}) \), de unde \( m(\widehat{BDC})=180^o-m(\hat{A})\ (1) \). Deasemenea folosim si punctul 1 din care rezulta ca \( ABEC \) este paralelogram, deci \( m(\widehat{BEC})=m(\hat{A})\ (2) \). Din (1) si (2) rezulta ca patrulaterul \( BDCE \) este inscriptibil.
3. Avem \( m(\widehat{BDM})=m(\hat{B})-m(\widehat{DBC})+m(\widehat{DBC})=m(\hat{B}) \). Analog si \( m(\widehat{CDM})=m(\hat{C}) \).
Deci din teorema sinusurilor in triunghiurile \( ADB,\ ADC \) si din cele demonstrate mai sus rezulta \( \displaystyle\frac{r_b}{r_c}=\frac{\frac{1}{2}\frac{c}{sin\hat{B}}}{\frac{1}{2}\frac{b}{sin\hat{C}}}=\frac{c^2}{b^2}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2 \)
4. Patrulaterul \( ADBU \) este inscriptibil, deci \( m(\hat{U})=m(\widehat{BDM})=m(\hat{C}) \)
\( AB||EV\Rightarrow m(\widehat{UBA})=m(\hat{E})=m(\hat{A}) \). Prin urmare \( m(\widehat{UAB})=m(\hat{C}) \).
Absolut analog se arata ca \( m(\widehat{CAV})=m(\hat{B}) \). De aici rezulta ca \( m(\widehat{UAV})=m(\hat{A})+m(\hat{B})+m(\hat{C})=180^o \).
Deci \( A \in UV \).
5. In demonstratia punctului precedent am demonstrat ca triunghiurile \( BUA,\ CAV, EUV, ABC \) sunt asemenea. De aici avem egalitatile:
\( \frac{UA}{VA}=\frac{2r_bsin\hat{A}}{2r_csin\hat{A}}=\frac{r_b}{r_c}=\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{EU^2}{EV^2} \).
Din aceasta ultima relatie rezulta ca \( EA \) este simediana din \( E \) a triunghiului \( EUV \).
Cu aceasta remarca punctul 1. este rezolvat. Daca consideram \( M \) intersectia lui \( AD \) cu \( BC \), atunci fiindca punctul \( M \) are puteri egale fata de cele doua cercuri rezulta ca \( MB^2=MD\cdot MA=MC^2 \), deci \( M \) este mijlocul lui \( BC \).
Pentru punctul 2. folosim ipoteza care spune ca \( m(\widehat{DBC})+m(\widehat{DCB})=m(\hat{A}) \), de unde \( m(\widehat{BDC})=180^o-m(\hat{A})\ (1) \). Deasemenea folosim si punctul 1 din care rezulta ca \( ABEC \) este paralelogram, deci \( m(\widehat{BEC})=m(\hat{A})\ (2) \). Din (1) si (2) rezulta ca patrulaterul \( BDCE \) este inscriptibil.
3. Avem \( m(\widehat{BDM})=m(\hat{B})-m(\widehat{DBC})+m(\widehat{DBC})=m(\hat{B}) \). Analog si \( m(\widehat{CDM})=m(\hat{C}) \).
Deci din teorema sinusurilor in triunghiurile \( ADB,\ ADC \) si din cele demonstrate mai sus rezulta \( \displaystyle\frac{r_b}{r_c}=\frac{\frac{1}{2}\frac{c}{sin\hat{B}}}{\frac{1}{2}\frac{b}{sin\hat{C}}}=\frac{c^2}{b^2}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2 \)
4. Patrulaterul \( ADBU \) este inscriptibil, deci \( m(\hat{U})=m(\widehat{BDM})=m(\hat{C}) \)
\( AB||EV\Rightarrow m(\widehat{UBA})=m(\hat{E})=m(\hat{A}) \). Prin urmare \( m(\widehat{UAB})=m(\hat{C}) \).
Absolut analog se arata ca \( m(\widehat{CAV})=m(\hat{B}) \). De aici rezulta ca \( m(\widehat{UAV})=m(\hat{A})+m(\hat{B})+m(\hat{C})=180^o \).
Deci \( A \in UV \).
5. In demonstratia punctului precedent am demonstrat ca triunghiurile \( BUA,\ CAV, EUV, ABC \) sunt asemenea. De aici avem egalitatile:
\( \frac{UA}{VA}=\frac{2r_bsin\hat{A}}{2r_csin\hat{A}}=\frac{r_b}{r_c}=\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{EU^2}{EV^2} \).
Din aceasta ultima relatie rezulta ca \( EA \) este simediana din \( E \) a triunghiului \( EUV \).