Un triunghi isoscel si doua cercuri aninate de *mot*

[Natalee]

Triunghiul ABC este isoscel cu \( AB = AC = 5\sqrt5 \) cm si \( BC = 10 \)cm.
Cercul cu centrul in \( O \) si de raza \( OA \), \( O \) mijlocul inaltimii \( [AH] \), \( H \) apartine bazei triunghiului, intersecteaza laturile \( [AB] \) si \( [AC] \)in \( E \), respectiv \( D \).
Cercul cu centrul in \( O' \)' si de raza O'A, \( O \)' mijlocul segmentului \( [OA] \) intersecteaza laturile \( [AB] \) si \( [AC] \) in \( F \), respectiv \( G \).

a) Sa se afle aria portiunii din suprafata discului cu centrul in \( O \), cuprinsa intre circumferinta acestui disc si circumferinta discului cu centrul \( O \)'.
b ) Sa se afle lungimea segmentului \( [ED] \).
c) Sa se calculeze raportul dintre aria patrulaterului \( BCDE \) si aria patrulaterului \( EDGF \).
d) Sa se arate ca aria patrulaterului \( OGAF \) este de doua ori mai mare decat aria triunghiului \( HCD \).

P.S. Cele doua cercuri sunt tangente interior, au varful A comun. La acest varf eu ii spun *moţ* ...

Natalee

[Ahiles]

a) \( AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{AB^2-\frac{BC^2}{4}}=10 \). Atunci \( OA=5, O,A=2,5. \)
Avem \( S_{C_1}-S_{C_2}=\pi(OA^2-O,A^2)=18,75\pi \)

b) \( HE\perp AB \), deci \( AH^2=AB\cdot AE \), de unde \( AE=\frac{AH^2}{AB}=\frac{100}{5\sqrt{5}}=4\sqrt{5} \). Fiindca \( AE=AD \), \( ED\parallel BC \). \( \triangle{AED}\sim\triangle{ABC} \). \( \frac{AE}{AB}=\frac{ED}{BC} \), de unde \( ED=\frac{AE\cdot BC}{AB}=\frac{4\sqrt{5}\cdot 10}{5\sqrt{5}}=8. \)

c) Din \( b) \) \( \frac{S_{AED}}{S_{ABC}}=\frac{16}{25} \), de unde \( S_{BCDE}=\frac{9}{25}S_{ABC} \). Ducem prin \( O \) paralela la \( BC \), care intersecteaza \( AB \) si \( AC \) in punctele \( P \) si \( T \). \( AF=\frac{AO^2}{AP}=2\sqrt{5} \), \( FG \parallel BC \), deci \( \triangle{AFG}\sim \triangle{ABC} \), \( \frac{S_{AFG}}{S_{ABC}}=\frac{AF^2}{AB^2}=\frac{20}{125}=\frac{4}{25}.
S_{EDGF}=S_{ABC}-S_{AFG}-S{BCDE}=S_ABC(1-\frac{9+4}{25})=\frac{12}{25} S_{ABC} \).
Avem \( S_{BCDE}=\frac{9}{25}S_{ABC} \) si \( S_{EDGF}=\frac{12}{25} S_{ABC} \), de unde \( \frac{S_{BCDE}}{S_{EDGF}}=\frac{3}{4} \).

d) Avem \( \triangle{AOF}\equiv\triangle{AOG} \), deci \( S_{OGAF}=2S_{AOG} \).
\( EH=HD=\sqrt{AH^2-AE^2}=\sqrt{100-20}=2\sqrt{5} \).
In triunghiurile \( AOG \) si \( HDC \) avem \( HC=AO=5 \), \( HD=AG=2\sqrt{5} \), deci \( \triangle{AOG}\equiv\triangle{HDC} \), de unde \( S_{OGAF}=2S_{AOG}=2S_{HDC} \), q.e.d.