Problema interesanta
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Beniamin Bogosel
- Co-admin
- Posts: 710
- Joined: Fri Mar 07, 2008 12:01 am
- Location: Timisoara sau Sofronea (Arad)
- Contact:
Problema interesanta
Sa se determine cel mai mic numar cu proprietatea ca prima cifra este 7 si daca se muta aceasta cifra pe ultimul loc, numarul final este de 5 ori mai mic decit numarul initial.
-
Beniamin Bogosel
- Co-admin
- Posts: 710
- Joined: Fri Mar 07, 2008 12:01 am
- Location: Timisoara sau Sofronea (Arad)
- Contact:
-
Beniamin Bogosel
- Co-admin
- Posts: 710
- Joined: Fri Mar 07, 2008 12:01 am
- Location: Timisoara sau Sofronea (Arad)
- Contact:
Daca tot nu te obosesti sa scrii o solutie scriu eu solutia mai frumoasa:
Fie \( N=\overline{7a_1a_2...a_n} \) numarul cautat. Trebuie ca acesta sa verifice \( \overline{7a_1a_2...a_n}=\overline{a_1a_2...a_n7}\cdot 5 \)
Daca notam cu \( x=\overline{a_1a_2...a_n} \) atunci relatia devine
\( 7\cdot 10^n+x=(10\cdot x+7)\cdot 5\Leftrightarrow 7\cdot 10^n=49x+35 \Leftrightarrow 7x=10^n-5 \). Pentru a gasi numarul cautat trebuie ca sa gasim cel mai mic numar \( n \) pentru care \( 7|10^n-5 \).
Din calcule avem ca 95, 995, 9995 nu sunt divizibile cu 7 si 99995/7=14285. Deci cel mai mic numar \( x \) cu proprietatea ceruta este 14285. Astfel numarul cautat este 714285.
Se verifica faptul ca \( 714285=142857\times 5 \)
Fie \( N=\overline{7a_1a_2...a_n} \) numarul cautat. Trebuie ca acesta sa verifice \( \overline{7a_1a_2...a_n}=\overline{a_1a_2...a_n7}\cdot 5 \)
Daca notam cu \( x=\overline{a_1a_2...a_n} \) atunci relatia devine
\( 7\cdot 10^n+x=(10\cdot x+7)\cdot 5\Leftrightarrow 7\cdot 10^n=49x+35 \Leftrightarrow 7x=10^n-5 \). Pentru a gasi numarul cautat trebuie ca sa gasim cel mai mic numar \( n \) pentru care \( 7|10^n-5 \).
Din calcule avem ca 95, 995, 9995 nu sunt divizibile cu 7 si 99995/7=14285. Deci cel mai mic numar \( x \) cu proprietatea ceruta este 14285. Astfel numarul cautat este 714285.
Se verifica faptul ca \( 714285=142857\times 5 \)
Cred ca solutia urmatoare e mult mai eleganta:
\( \overline{7a_1a_2a_3..a_n}=5*\overline{a_1a_2a_3..a_n7}\rightarrow a_n=5 \)
\( \overline{7a_1a_2a_3..a_{n-1}5}=5*\overline{a_1a_2a_3..a_{n-1}57}\rightarrow a_{n-1}=8 \)
\( \overline{7a_1a_2a_3..a_{n-2}85}=5*\overline{a_1a_2a_3..a_{n-2}857}\rightarrow a_{n-2}=2 \)
si facem asa mai departe pana obtinem primul \( a_{k}=7 \).
La final ajungem la aceeasi solutie \( 714285 \).
\( \overline{7a_1a_2a_3..a_n}=5*\overline{a_1a_2a_3..a_n7}\rightarrow a_n=5 \)
\( \overline{7a_1a_2a_3..a_{n-1}5}=5*\overline{a_1a_2a_3..a_{n-1}57}\rightarrow a_{n-1}=8 \)
\( \overline{7a_1a_2a_3..a_{n-2}85}=5*\overline{a_1a_2a_3..a_{n-2}857}\rightarrow a_{n-2}=2 \)
si facem asa mai departe pana obtinem primul \( a_{k}=7 \).
La final ajungem la aceeasi solutie \( 714285 \).
n-ar fi rau sa fie bine 
-
Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
-
Beniamin Bogosel
- Co-admin
- Posts: 710
- Joined: Fri Mar 07, 2008 12:01 am
- Location: Timisoara sau Sofronea (Arad)
- Contact:
Nu stiu daca e mai eleganta solutia ta. E corecta, n-am nimic impotriva. Si eu asa am facut prima data, dar cred ca solutia pe care am prezentat-o e mai scurta decit solutia ta si nu necesita prea multe justificari. Oricum, rezultatul conteaza, dar la olimpiada cu cit solutia este mai clara, cu atit e mai bine..mihai++ wrote:cred ca solutia urmatoare e mult mai eleganta...