Page 1 of 1
Problema interesanta
Posted: Mon Mar 24, 2008 7:14 pm
by Beniamin Bogosel
Sa se determine cel mai mic numar cu proprietatea ca prima cifra este 7 si daca se muta aceasta cifra pe ultimul loc, numarul final este de 5 ori mai mic decit numarul initial.
Posted: Mon Mar 24, 2008 7:59 pm
by mihai++
714285
exista doua rezolvari! una creationasta si una muncitoreasca!
Posted: Tue Mar 25, 2008 4:16 pm
by Beniamin Bogosel
Ma bucur ca sunt doua. Stiam si eu asta. Ai putea sa postezi macar una (mai bine pe amindoua) ca sa mai invete si cei care nu stiu. Pe copiii de clasa a VI-a nu-i impresionezi daca zici numai rezultatul. Bine?
Posted: Wed Mar 26, 2008 6:24 pm
by Beniamin Bogosel
Daca tot nu te obosesti sa scrii o solutie scriu eu solutia mai frumoasa:
Fie \( N=\overline{7a_1a_2...a_n} \) numarul cautat. Trebuie ca acesta sa verifice \( \overline{7a_1a_2...a_n}=\overline{a_1a_2...a_n7}\cdot 5 \)
Daca notam cu \( x=\overline{a_1a_2...a_n} \) atunci relatia devine
\( 7\cdot 10^n+x=(10\cdot x+7)\cdot 5\Leftrightarrow 7\cdot 10^n=49x+35 \Leftrightarrow 7x=10^n-5 \). Pentru a gasi numarul cautat trebuie ca sa gasim cel mai mic numar \( n \) pentru care \( 7|10^n-5 \).
Din calcule avem ca 95, 995, 9995 nu sunt divizibile cu 7 si 99995/7=14285. Deci cel mai mic numar \( x \) cu proprietatea ceruta este 14285. Astfel numarul cautat este 714285.
Se verifica faptul ca \( 714285=142857\times 5 \)
Posted: Wed Mar 26, 2008 8:15 pm
by mihai++
Cred ca solutia urmatoare e mult mai eleganta:
\( \overline{7a_1a_2a_3..a_n}=5*\overline{a_1a_2a_3..a_n7}\rightarrow a_n=5 \)
\( \overline{7a_1a_2a_3..a_{n-1}5}=5*\overline{a_1a_2a_3..a_{n-1}57}\rightarrow a_{n-1}=8 \)
\( \overline{7a_1a_2a_3..a_{n-2}85}=5*\overline{a_1a_2a_3..a_{n-2}857}\rightarrow a_{n-2}=2 \)
si facem asa mai departe pana obtinem primul \( a_{k}=7 \).
La final ajungem la aceeasi solutie \( 714285 \).
Posted: Wed Mar 26, 2008 8:15 pm
by Virgil Nicula
Pentru scurtarea solutiei puteti specula ca \( 7 \) divide \( 1001 \) !
Posted: Wed Mar 26, 2008 9:34 pm
by Beniamin Bogosel
mihai++ wrote:cred ca solutia urmatoare e mult mai eleganta...
Nu stiu daca e mai eleganta solutia ta. E corecta, n-am nimic impotriva. Si eu asa am facut prima data, dar cred ca solutia pe care am prezentat-o e mai scurta decit solutia ta si nu necesita prea multe justificari. Oricum, rezultatul conteaza, dar la olimpiada cu cit solutia este mai clara, cu atit e mai bine..
