Fie triunghiul \( ABC \) cu ortocentru \( H \) si cercul circumscris \( C(O) \) . Notam \( \left\|\ \begin{array}{c} E\in BH\cap AC \\\
\ F\in CH\cap AB\end{array} \) ,
\( \left\|\ \begin{array}{c} X\in EF\cap AH \\\
\ Y\in AO\cap BC\end{array} \) si \( \left\|\ \begin{array}{ccc} M\in BC & , & MB = MC \\\
\ N\in XY & , & NX = NY\end{array} \) . Sa se arate ca \( A\in MN \) .
O coliniaritate intr-un triunghi
Moderators: Laurian Filip, Filip Chindea, maky, Cosmin Pohoata, Virgil Nicula
-
Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
Presupunem fara a restrange generalitatea ca AB>AC.
Fie A' punctul diametral opus lui A in cercul circumscris triunghiului ABC, {P}=EF \( \cap \)BC si D piciorul perpendicularei din A.
Este cunoscut faptul ca A'CHB este paralelogram, de unde rezulta ca M este punctul de intersectie al diagonalelor. In continuare se demonstreza usor ca \( \frac {AX} {XH} \)=\( \frac {AY} {YA'} \) \( \Rightarrow \) A'H \( \parallel \) YX \( \Rightarrow \) MH \( \parallel \) YX \( \Rightarrow \) \( \frac {YM} {MD} \)=\( \frac {NX} {ND} \) (1)
(B,C,D,P) d.a. \( \Rightarrow \) (F,E,X,P) d.a. \( \Rightarrow \) B(F,E,X,P) f.a. \( \Rightarrow \) B(A,N,X,D) f.a. \( \Rightarrow \) (A,N,X,D) d.a. \( \Rightarrow \) \( \frac {AX} {AD} \)=\( \frac {NX} {ND} \) (2)
Din (1) si (2) \( \Rightarrow \) \( \frac {MD} {MY} \cdot \frac {YN} {NX} \cdot \frac {AX} {AD} \)=1 (reciproca teoremei lui Menelaus) \( \Rightarrow \) A, N, M sunt coliniare.
Fie A' punctul diametral opus lui A in cercul circumscris triunghiului ABC, {P}=EF \( \cap \)BC si D piciorul perpendicularei din A.
Este cunoscut faptul ca A'CHB este paralelogram, de unde rezulta ca M este punctul de intersectie al diagonalelor. In continuare se demonstreza usor ca \( \frac {AX} {XH} \)=\( \frac {AY} {YA'} \) \( \Rightarrow \) A'H \( \parallel \) YX \( \Rightarrow \) MH \( \parallel \) YX \( \Rightarrow \) \( \frac {YM} {MD} \)=\( \frac {NX} {ND} \) (1)
(B,C,D,P) d.a. \( \Rightarrow \) (F,E,X,P) d.a. \( \Rightarrow \) B(F,E,X,P) f.a. \( \Rightarrow \) B(A,N,X,D) f.a. \( \Rightarrow \) (A,N,X,D) d.a. \( \Rightarrow \) \( \frac {AX} {AD} \)=\( \frac {NX} {ND} \) (2)
Din (1) si (2) \( \Rightarrow \) \( \frac {MD} {MY} \cdot \frac {YN} {NX} \cdot \frac {AX} {AD} \)=1 (reciproca teoremei lui Menelaus) \( \Rightarrow \) A, N, M sunt coliniare.