Divizori pe o curba neteda

[Mihai Fulger]

Fie L un fibrat in drepte de grad n pe o curba complexa (s-ar putea sa nu fie nevoie de caracteristica 0) neteda C. Atunci exista T un fibrat in drepte pe C astfel incat \( L=T^{\otimes n} \).

[Alexandru Chirvasitu]

Nu, nu pare să fie nevoie de ipoteze asupra caracteristicii, dar o să demonstrez doar pentru \( \mathbb C \) .

După ce înmulţesc fibratul \( \mathcal L \) cu puterea \( n \) a unui fibrat inversabil, pot presupune că fibratul iniţial are grad zero. Trebuie deci să arătăm că grupul \( \mbox{Pic}^{\circ}(X) \) al claselor de divizori de grad nul pe curba \( X \) e grup divizibil. Ştim însă că grupul ăsta e izomorf cu varietatea Jacobiană a lui \( X \) (presupun că \( X \) are gen \( g\ge 1 \); dacă \( X \) e dreapta proiectivă atunci grupul respectiv oricum e trivial). În general, o varietate abeliană e grup divizibil indiferent de caracteristică, dar din câte ştiu demonstraţia nu e simplă. Peste \( \mathbb C \) însă nu e nici o dificultate: varietăţile abeliene sunt toruri complexe, care evident sunt divizibile.

[Mihai Fulger]

Ma bucur sa aud ca rezultatul e valabil in general
Este echivalent cu a arata ca multiplicarea cu orice n este surjectiva, ceea ce e acelasi lucru cu a arata ca are nucleul finit. Asta e clar in cazul curbelor fiindca multiplicarea cu n e data de niste formule polinomiale care probabil nu or fi nule. In general poate merge tot asa, desi ar trebui sa se poata si mai frumos.