mateforum.ro

Iata o limita dragutza care poate fi facuta si cu instrumente de clasa 11-a.

Sa se calculeze \( \lim_{n\to\infty} n\left(ln2-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}\right) \).

1. Se poate calcula cu regula clestelui daca e vb de clasa a XI-a la partea cu suma.
2. Se folosesc sumele Riemann si se ajunge usor la rezultatul cautat.

Fie \( a_{n}=\ln(2)-\sum _{k=1}^n \frac{1}{n+k} \)
si \( b_{n}=\frac{1}{n}
\) e clar ca \( b_{n} \rightarrow 0 \) descrescator , iar \( a_{n}\rightarrow 0 \)

Din lema Slotz-Cesaro pt cazul 0/0 avem :
\( \lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\lim_{n}\frac{a_{n}-a_{n+1}}{b_{n}-b_{n+1}}=\lim \frac{\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2(n+1)}-\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n(n+1)}}=\frac{1}{4} \)