Determinati toate polinoamele \( P \in R[X] \) care au proprietatea ca pentru orice matrice \( A,B \in M_2 (R) \), cu \( A \neq B \), avem \( P(A) \neq P(B) \).
Marius Ghergu
P.S. Cred ca merge generalizat pentru \( M_n(R) \).
Functii polinomiale injective pe mult. matricelor de ordin 2
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Radu Titiu, Marius Dragoi
-
Bogdan Cebere
- Thales
- Posts: 145
- Joined: Sun Nov 04, 2007 1:04 pm
Functii polinomiale injective pe mult. matricelor de ordin 2
Last edited by Bogdan Cebere on Sun Apr 20, 2008 8:52 pm, edited 1 time in total.
Da, merge generealizat si solutia ar arata cam asa:
Daca \( P \) este un polinom cu mai mult de doua radacini, sa zicem radacinile \( x_1, x_2 \), luam \( P(x_1I_2)=P(x_2I_2)=0 \), deci polinomul va fi de forma \( P=a(x-x_1)^n \), cu \( x_1 \) singura radacina.
Presupunem \( n \ge 2 \) si obtinem o contradictie: luam matricele bI_2 si \( C+bI_2 \) a.i. \( C^n=0_2 \).
Deci n=1 si singurele polinoame sunt de forma \( ax+b \).
Daca \( P \) este un polinom cu mai mult de doua radacini, sa zicem radacinile \( x_1, x_2 \), luam \( P(x_1I_2)=P(x_2I_2)=0 \), deci polinomul va fi de forma \( P=a(x-x_1)^n \), cu \( x_1 \) singura radacina.
Presupunem \( n \ge 2 \) si obtinem o contradictie: luam matricele bI_2 si \( C+bI_2 \) a.i. \( C^n=0_2 \).
Deci n=1 si singurele polinoame sunt de forma \( ax+b \).
In Sicily, women are more dangerous than shotguns [The Godfather I]