Concursul "Al. Myller" problema 1

[Bogdan Cebere]

Determinaţi numărul soluţiilor ecuaţiei \( {\frac{[x]}{{\{x\}}}}={\frac{2007x}{2008}} \).

Mihail Bălună

[Laurian Filip]

rezolvam pt cele pozitive prima data.

\( x=a+b \) , cu \( a \in N \) si \( b \in [0,1) \)

Daca x este natural \( \lbrace \)\( x}=0 \) si fractia nu are sens. Deci \( b \in (0,1). \)
Daca \( x\in (0,1) \) at \( x=0 \) contradictie. Deci \( x>1 \)

\( 2008a=2007(a+b)b \)
\( 2007b^2+2007ab-2008a=0 \)

\( \Delta=2007^2a^2+4\cdot 2007\cdot 2008a \)

\( b=\frac{-2007a+-\sqrt \Delta }{4014} \)

cum b este pozitiv avem doar cazul cu +

\( b=\frac{-2007a+\sqrt \Delta }{4014} \)

din \( b<1 \) avem
\( 4014+2007a>\sqrt{2007^2a^2+4\cdot 2007\cdot 2008a \)
\( 2007^2\cdot 4+4\cdot 2007^2a+2007^2a^2>2007^2a^2+4\cdot 2007\cdot 2008a \)
\( 2007^2\cdot 4>4\cdot 2007 a \)
\( 2007>a \)

de unde aflam ca are 2006 solutii pozitive. Banuiesc ca iese cam analog si pt negative.

[mihai++]

pe negative iese o contradictie usoara tot din \( b<1 \).
nu cred ca e nevoie de pasul acela cu \( x\in\left(0,1\right) \), dar daca il pui atunci implica \( x=0 \)

[Bogdan Cebere]

Dacă \( x < 0 \), atunci \( \frac{[x]}{\{x\}}<[x] \leq x < \frac{2007x}{2008} \), deci nu sunt solutii.