Să se arate că nu există numere întregi \( a,b,c \) astfel încât \( (a+bi\sqrt[]{3})^{17}=c+i\sqrt[]{3}. \)
Dorin Andrica, Mihai Piticari
Concursul "Al. Myller" problema 2
Moderators: Filip Chindea, Andrei Velicu, Radu Titiu
-
Bogdan Cebere
- Thales
- Posts: 145
- Joined: Sun Nov 04, 2007 1:04 pm
-
Laurian Filip
- Site Admin
- Posts: 344
- Joined: Sun Nov 25, 2007 2:34 am
- Location: Bucuresti/Arad
- Contact:
il descompunem pe \( (a+bi\sqrt[]{3})^{17} \) cu binomul lui newton si egalam cele 2 parti imaginare din ambele parti si impartim cu \( \sqrt[]{3} \)
\( C_{17}^{1}a^{16}bi-C_{17}^{3}3^2a^{14}b^3i+...+C_{17}^{17}3^8b^{17}i=i \)
impartind cu i avem
\( C_{17}^{1}a^{16}b-C_{17}^{3}3^2a^{14}b^3+...+C_{17}^{17}3^8b^{17}=1 \)
membrul stang este divizibil cu \( b \) de unde \( b=1 \) sau \( b=-1 \). Dar din congruenta modulo 3 avem \( b=-1 \).
\( -C_{17}^{1}a^{16}+C_{17}^{3}3^2a^{14}-...-3^8C_{17}^{17}=1 \)
\( a^2(-C_{17}^{1}a^{14}+C_{17}^{3}3^2a^{12}-...+C_{17}^{15}3^7)=3^8+1=193\cdot\ 17\cdot\ 2 \)
de unde avem \( a^2=1 \)
\( -C_{17}^{1}+C_{17}^{3}3^2-...-3^8C_{17}^{17}=1 \)
In afara de primul si ultimul termen al sumei din partea stanga toate sunt pare. Deci suma totala este para. Asadar nu poate fi egala cu 1.
\( C_{17}^{1}a^{16}bi-C_{17}^{3}3^2a^{14}b^3i+...+C_{17}^{17}3^8b^{17}i=i \)
impartind cu i avem
\( C_{17}^{1}a^{16}b-C_{17}^{3}3^2a^{14}b^3+...+C_{17}^{17}3^8b^{17}=1 \)
membrul stang este divizibil cu \( b \) de unde \( b=1 \) sau \( b=-1 \). Dar din congruenta modulo 3 avem \( b=-1 \).
\( -C_{17}^{1}a^{16}+C_{17}^{3}3^2a^{14}-...-3^8C_{17}^{17}=1 \)
\( a^2(-C_{17}^{1}a^{14}+C_{17}^{3}3^2a^{12}-...+C_{17}^{15}3^7)=3^8+1=193\cdot\ 17\cdot\ 2 \)
de unde avem \( a^2=1 \)
\( -C_{17}^{1}+C_{17}^{3}3^2-...-3^8C_{17}^{17}=1 \)
In afara de primul si ultimul termen al sumei din partea stanga toate sunt pare. Deci suma totala este para. Asadar nu poate fi egala cu 1.