Concursul "Al. Myller" problema 1

[Bogdan Cebere]

Fie \( A \in M_4(R) \) astfel încât \( \det(A^2-I_4) < 0 \).
Să se arate că există \( \alpha \in R \), cu \( |\alpha| < 1 \) astfel încât matricea \( A +{\alpha}I_4 \) să fie singulară.

Mihai Haivas

[Radu Titiu]

Fie functia \( f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( f(x)=\det(A-xI) \), functie continua (deoarece este functie polinomiala). Relatia din ipoteza devine \( f(1)f(-1)<0 \). Din proprietatea lui Darboux rezulta ca exista \( \alpha \in (-1,1) \) a.i. \( f(\alpha)=0 \).