Polinom ireductibil peste un corp finit

[bae]

Un polinom \( P \) de grad \( n \) peste \( \mathbb{F}_p \) este ireductibil daca si numai daca \( n=\min\{m\in\mathbb{N}^*|P \text{ divide } X^{p^m}-X\} \)

Sursa problemei: http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?s ... 13&t=78083 post #5

[Dragos Fratila]

"=>"
Daca P este ireductibil atunci corpul sau de descompunere (peste \( F_p \)) va avea gradul n: adjunctionam o radacina a lui P la corpul de baza - obtinem o extindere de grad n a lui \( F_p \) dar se stie ca aceasta extindere este corpul de descompunere al lui \( X^{p^n}-X \) peste \( F_p \) si fiindca \( P \) este ireductibil rezulta ca\( P|X^{p^n}-X \), deci toate radacinile lui P se afla in aceasta extindere. Prin urmare corpul de descompunere al lui P are gradul n (extinderea, se intelege). De aici rezulta clar ca P nu poate sa divida vreun \( X^{p^m}-X \) cu m<n caci daca l-ar divide corpul sau de descompunere s-ar afla in corpul de descompunere al lui \( X^{p^m}-X \) care are gradul m<n.

"<="
Demonstram ca daca P nu este ireductibil atunci \( n\neq \min\{...\} \)
Daca P are radacini multiple atunci nu poate sa divida niciun \( X^{p^k}-X \) caci astea toate au radacini diferite.
Putem deci sa presupunem ca \( P=f_1\cdots f_k \), unde \( f_i \) sunt ireductibile si diferite toate. Notam \( d_i=\deg(f_i) \) si cu \( D=\max\{d_i\} \). Este clar ca \( f_i|X^{p^D}-X \) pentru orice \( i \). Prin urmare \( P|X^{p^D}-X \), adica \( n>\min\{k : P | X^{p^k}-X\} \)

[bae]

Este clar ca \( f_i|X^{p^D}-X \) pentru orice \( i \).

Mie nu mi se pare chiar clar. Poti argumenta, te rog?

PS Ca sa-mi spun parerea, eu cred ca rezultatul postat de mine este fals in ceea ce priveste implicatia de la dreapta la stanga! De-aia am si pus un acolo. Asa ca asteptam mai degraba un contraexemplu.

[Dragos Fratila]

Ramane de vazut daca \( D \) poate fi egal cu \( n \).

Poate!

[Dragos Fratila]

Putem deci sa presupunem ca \( P=f_1\cdots f_k \), unde \( f_i \) sunt ireductibile si diferite toate. Notam \( d_i=\deg(f_i) \) si cu \( D=\max\{d_i\} \).

Fie \( d_1=6, d_2=35, d_3=10 \).
Luam 5 polinoame ireductibile de grad 6, 2 de grad 35 si 11 de grad 10. Facem produsul lor si polinomul are gradul \( 5\cdot 6+2\cdot 35+11\cdot 10=210=cmmmc\{6,35,10\}=D \).

[bae]

Acum am vazut contra-exemplul tau. Eu aveam unul, cred, mai simplu. Trei polinoame ireductibile, unul de grad 2, unul de grad 4 si unul de grad 6 peste \( \mathbb{Z}_2 \). (Sper ca mi-am amintit bine, ca l-am gasit odata cu problema si a trecut un pic de timp de atunci.)