Functie cu integrala pozitiva

[bae]

Fie \( f:[a,b]\to\mathbb{R} \) continua cu proprietatea ca \( \int_a^bf(t)g(t)dt\geq 0 \) pentru orice functie \( g:[a,b]\to[0,\infty) \) continua si descrescatoare. Sa se arate ca \( \int_a^xf(t)dt\geq 0 \) pentru orice \( x\in[a,b] \).

Concursul interjudetean L. Duican 1998

[aleph]

Pentru \( a<x<b \) fixat se consideră şirul de funcţii \( (g_n) \) având ca grafic linia poligonală de vârfuri \( (a,1),\ (x,1),\ (x+\frac{1}{n},0),\ (b,0) \) cu \( n > \frac{1}{b-x} \).
Luând \( g=g_n \) şi \( n \to \infty \) se obţine concluzia.