Care e probabilitatea sa te intorci de unde ai plecat?

[Dragos Fratila]

Consideram intregii pe axa reala si fixam originea. Un drum de lungime n consta in a face n pasi (pe intregi), fiecare pas ori spre stanga ori spre dreapta. Consideram ca in fiecare punct (intreg) probabilitatea ca sa faci un pas la stanga=probabilitatea ca sa faci un pas la dreapta=1/2 . Sa se determine probabilitatea ca dupa n pasi, pornind din 0, sa ajungi tot in 0.

Generalizare: in plan consideram ZxZ (laticea intregilor) si fixam originea. In fiecare moment probabilitatea sa faci un pas spre Nord, S, V, E este de 1/4. Daca plecam din (0,0), care este probabilitatea ca dupa n pasi sa ajungem in (0,0)?

[Ciprian Oprisa]

Evident, daca n este impar, probabilitatea e 0.
Daca n e par, avem numarul cazurilor posibile \( 2^n \), iar ca sa calculam numarul cazurilor favorabile, consideram o secventa de n biti, 1 insemnand pas in staga, 0, pas in dreapta, si ca sa ajunga in 0, trebuie ca nr de biti de 1 sa fie egal cu nr de biti de 0, iar numarul acestor cazuri e \( \left( \
\begin{array}{c}
n \\
n/2 \\
\end{tabular}
\right) \)
Deci probabilitatea e \( \frac{\left( \
\begin{array}{c}
n \\
n/2 \\
\end{tabular}
\right)}{2^n} \)

[Beniamin Bogosel]

Doar o intrebare?
Un pas este intre doi intregi consecutivi? Iar in plan intre 2 puncte laticeale consecutive?

[Beniamin Bogosel]

Daca e asa, atunci si problema in plan nu e asa de grea...
Se considera vectorii \( \bar{i},\bar{j} \) din baza canonica a planului, mai bine zis de coordonate (0,1) si (1,0).

Atunci pasii pot fi pusi in patru multimi disjuncte:
\( A=\{\text{pasi spre nord}\},\ B,\ C,\ D \) definindu-se la fel ca pasi spre est, vest, sud.
Pozitia omului nostru este data de vectorul de pozitie \( (|A|-|D|)\bar{i}+(|B|-|C|)\bar{j} \). Deci omul s-a intors in origine daca si numai daca \( |A|=|D|,\ |B|=|C| \).

Din nou, daca n este impar, probabilitatea este 0, pentru ca omul nu poate ajunge in origine. Daca n este par, atunci se poate ajunge in origine. Numarul drumurilor este acum \( 4^n \) pentru ca la fiecare pas omul poate alege intre 4 directii de mers.

Acum sa numaram cazurile favorabile:
Avem \( |A|+|B|=\frac{n}{2} \), deci daca A are k elemente atunci B are n/2-k elemente. Deci A, B si D care are k elemente se pot alege in \( \begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n-k\\\frac{n}{2}-k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{n}{2}\\ k\end{pmatrix} \), unde \( k \leq \frac{n}{2} \), si elementele lui C sunt cele care au mai ramas, prin urmare, rezultatul se obtine insumand de la 0 la n/2 pentru k si probabilitatea cautata este
\( \frac{\sum\limits_{0\leq k\leq\frac{n}{2}}\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n/2 \\ k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n-k\\\frac{n}{2}-k\end{pmatrix}}{4^n}=\frac{\sum\limits_{0\leq k\leq\frac{n}{2}}\begin{pmatrix}n/2 \\ k\end{pmatrix}^2\begin{pmatrix}n\\n/2\end{pmatrix}}{4^n}=\frac{\begin{pmatrix}n \\ n/2 \end{matrix}^2}{4^n}. \)

daca facem calculele avem
\( \begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n-k\\\frac{n}{2}-k\end{pmatrix}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{(n-k)!}{(n/2)!(n/2-k)!}=
\frac{(n/2)!}{k!(n/2-k)!}\frac{n!}{(n/2)!(n/2)!}=\begin{pmatrix}n/2 \\ k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n\\\frac{n}{2}\end{pmatrix} \)

Si am obtinut ca probabilitatea in plan este patratul probabilitatii pe dreapta, ceea ce era oarecum de asteptat. (multumesc de corectari... )

Sper sa fie corecta rezolvarea. (daca e ceva gresit sa ziceti...)

P.S. am modificat-o ca am gasit greseli la numarare....

[Beniamin Bogosel]

Propun generalizarea in spatiu pentru cei care au nervi ... si rabdare sa scrie tot...

[Ciprian Oprisa]

Am citit intr-o carte mai veche, ceva asemanator, ii zicea "problema betivului". Spunea ca o persoana pleaca de la un stalp, si in fiecare secunda, face un pas de lungime 1, intr-o directie aleatoare. La ce distanta de stalp sunt cele mai mari sanse sa se afle, dupa N secunde?

[Beniamin Bogosel]

Am modificat rezolvarea ca am gasit greseli... Va rog sa-mi ziceti daca mai gasiti altele.

[Ciprian Oprisa]

deci daca A are k elemente atunci B are n/2-k elemente. Deci A, B si C care are p elemente

Dar C nu trebuia sa aiba acelasi numar de elemente cu B, ca sa se intoarca de unde a plecat?