Puteri simetrice si involutii

[Mihai Fulger]

Notatii si conventii:
Fie C o curba proiectiva peste un corp algebric inchis.
A i-a putere simetrica \( S^iC \) a lui C se defineste ca \( C^i/S_i \), unde \( S_i \) este grupul permutarilor de i elemente. Presupunem cunoscut ca \( S^iC \) este varietate proiectiva.
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Problema:
Daca C este plana, de grad \( d\geq 4 \), atunci exista un morfism diferit de identitate \( s_N:S^NC\to S^NC \) astfel incat \( s_N\circ s_N=id \), unde \( N={d-1\choose 2}-1 \)
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Si ceva ce nu stiu: Daca J(C) este jacobiana lui C (de data asta curba proiectiva abstracta, dar neteda) si presupunem ca elementul neutru din J(C) se gaseste pe C, iar \( C^l\to J(C) \) este aplicatia \( (c_1,\ldots,c_l)\to c_1+\ldots+c_l \), atunci este aplicatia indusa \( S^lC\to J(C) \) o scufundare pentru vreun \( 1<l\leq \) genul lui C?

[Mihai Fulger]

Se pare ca partea pe care nu o stiam era cunoscuta: Adica aplicatia data e birationala pe imagine in conditiile date si este izomorfism pe imagine pentru l< cel mai mic numar intreg pentru care exista un morfism surjectiv de la curba pe dreapta proiectiva (numarul asta se mai numeste si gonalitatea curbei).
Nu stiu unde e demonstrat acest fapt, dar e enuntat aici: http://www.warwick.ac.uk/~maseap/papers/symmetric4.pdf