Problema 4 ONM 2008

[Alin Galatan]

Fie \( \mathcal{G} \) multimea grupurilor finite cu cel putin doua elemente.
a) Sa se arate ca daca \( G\in\mathcal{G} \), atunci

\( |End(G)| \leq \sqrt[p]{n^n} \),

unde \( |End(G)| \) este numarul endomorfismelor lui \( G \), \( n=n(G) \) este numarul elementelor lui \( G \), iar \( p=p(G) \) este cel mai mare divizor prim al lui \( n \).
b) Sa se determine grupurile din \( \mathcal{G} \) pentru care inegalitatea de la punctul a) este egalitate.

Marian Andronache

[Dragos Fratila]

Incerc sa expun ideea iar formalismul va deveni clar apoi. E clar ca orice morfism este unic determinat de valorile pe care le ia in (niste) generatori, asa ca este suficient sa gasim o multime care genereaza grupul si care are cardinalul convenabil.
Spre exemplu, daca am stii ca \( G \) este generat de \( x \) si \( y \) atunci e clar ca orice morfism de la \( G \) la \( G \) este unic determinat de valorile sale in \( x \) si in \( y \), asadar numarul endomorfismelor ar fi \( \le n^2 \).

a) Fie \( x \) un element de ordin \( p \) si \( H=<x>. \)
Consideram \( M=((G/H)_s-\{1\}) \cup\{x\} \) care (verificare simpla) este sistem de generatori si are cardinalul \( \frac np \). (prin \( (G/H)_s \) se intelege aici un sistem de reprezentanti pentru relatia modulo \( H \) la stanga; am presupus ca 1 este reprezentantul lui \( x \) modulo \( H \)).
Prin urmare \( |End(G)|\le |\{f:M\to G\}|=n^{n/p} \).

b) Pentru egalitate este clar ca orice functie \( f:M\to G \) trebuie sa se extinda la un morfism. Daca \( M \) are cel putin doua elemente atunci acest lucru este imposibil dupa cum se poate verifica usor (\( a,b\in M, a,b\neq x \) atunci \( ab=x^kc \) cu \( c\in M \), rezulta ca \( f(c) \) este dat de \( f(a), f(b), f(x) \) - ceea ce este o contradictie cu faptul ca orice functie se poate extinde la un morfism).
Asadar \( |M|=1 \) ceea ce conduce la \( G \)=grup ciclic cu \( p \) elemente.