Problema cuadrice
Moderator: Mihai Fulger
-
Alin Galatan
- Site Admin
- Posts: 247
- Joined: Tue Sep 25, 2007 9:24 pm
- Location: Bucuresti/Timisoara/Moldova Noua
Problema cuadrice
Fie \( d_1,d_2 \) doua drepte necoplanare din \( R^3 \). Demonstrati ca perpendicularele coborate din \( d_1 \) pe \( d_2 \) descriu un paraboloid echilater care contine cele doua drepte.
-
mihai miculita
- Pitagora
- Posts: 93
- Joined: Mon Nov 12, 2007 7:51 pm
- Location: Oradea, Romania
Cuadrice riglate si solutia problemei propuse...
O cuadrica riglata (C) poate fi generata intr-unul dintre urmatoarele moduri:
1) Fiind date 3 drepte: a,b si c, care sunt necoplanare 2 cate 2, multimea tuturor dreptelor d care se sprijina pe fiecare dintre dreptele a,b si c genereaza o cuadrica riglata (C) (hiperboloid cu o panza sau paraboloid hiperbolic).
In cazul in care dreptele a,b si c sunt paralele cu un acelasi plan \( \pi_1 \), atunci toate dreptele d sunt la randul lor paralele cu un alt plan \( {\pi}_2 \), iar cuadrica (C) este un paraboloid hiperbolic.
2) Multimea tuturor dreptelor d care se sprijina pe 2 drepte necoplanare a si b si care determina pe aceste drepte doua diviziuni omografice, este o cuadrica riglata (C). In cazul in care dreptele d determina pe dreptele a si b diviziuni asemenea, cuadrica (C) generata de dreptele d este un paraboloid hiperbolic.
Revenind la problema propusa, sa observam ca au loc urmatoarele:
Daca \( (\forall)X_1\in d_1 \), notam cu \( X_2 \) proiectia sa pe dreapta \( d_2 \), atunci toate dreptele \( x=X_1X_2 \) sunt paralele cu un acelasi plan \( \pi \perp d_2 \), iar daca:
\( (\forall)A_1, B_1, C_1\in d_1\Rightarrow \frac{|A_1B_1|}{|A_2B_2|}=\frac{|A_1C_1|}{|A_2C_2|}=\frac{|B_1C_1|}{|B_2C_2|} \) (se aplica T. lui Thales din spatiu), asa ca dreptele \( x=X_1X_2 \) determina pe dreptele \( d_1 \) si \( d_2 \) doua diviziuni asemenea \( \Rightarrow \) dreptele \( x=X_1X_2 \) genereaza un paraboloid hiperbolic!
Cu privire la paraboloidul hiperbolic, as mai face urmatoarea precizare:
Numesc sectiune normala intr-o cuadrica riglata o sectiune facuta cu un plan care este perpendicular pe o generatoare rectilinie a cuadricei. Daca o sectiune normala a unei cuadrice riglate este o hiperbola echilatera, atunci toate sectiunile normale ale acestei cuadrice sunt hiperbole echilatere; o astfel de cuadrica este o cuadrica echilatera.
Demonstratiile tuturor afirmatiilor cu caracter teoretic de mai sus le puteti gasi in cartea noastra:
Mihai Miculita & Dan Branzei: ANALOGII TRIUNGHI-TETRAEDRU, aparuta la Ed. "Paralela 45" din Pitesti in anul 2000.
1) Fiind date 3 drepte: a,b si c, care sunt necoplanare 2 cate 2, multimea tuturor dreptelor d care se sprijina pe fiecare dintre dreptele a,b si c genereaza o cuadrica riglata (C) (hiperboloid cu o panza sau paraboloid hiperbolic).
In cazul in care dreptele a,b si c sunt paralele cu un acelasi plan \( \pi_1 \), atunci toate dreptele d sunt la randul lor paralele cu un alt plan \( {\pi}_2 \), iar cuadrica (C) este un paraboloid hiperbolic.
2) Multimea tuturor dreptelor d care se sprijina pe 2 drepte necoplanare a si b si care determina pe aceste drepte doua diviziuni omografice, este o cuadrica riglata (C). In cazul in care dreptele d determina pe dreptele a si b diviziuni asemenea, cuadrica (C) generata de dreptele d este un paraboloid hiperbolic.
Revenind la problema propusa, sa observam ca au loc urmatoarele:
Daca \( (\forall)X_1\in d_1 \), notam cu \( X_2 \) proiectia sa pe dreapta \( d_2 \), atunci toate dreptele \( x=X_1X_2 \) sunt paralele cu un acelasi plan \( \pi \perp d_2 \), iar daca:
\( (\forall)A_1, B_1, C_1\in d_1\Rightarrow \frac{|A_1B_1|}{|A_2B_2|}=\frac{|A_1C_1|}{|A_2C_2|}=\frac{|B_1C_1|}{|B_2C_2|} \) (se aplica T. lui Thales din spatiu), asa ca dreptele \( x=X_1X_2 \) determina pe dreptele \( d_1 \) si \( d_2 \) doua diviziuni asemenea \( \Rightarrow \) dreptele \( x=X_1X_2 \) genereaza un paraboloid hiperbolic!
Cu privire la paraboloidul hiperbolic, as mai face urmatoarea precizare:
Numesc sectiune normala intr-o cuadrica riglata o sectiune facuta cu un plan care este perpendicular pe o generatoare rectilinie a cuadricei. Daca o sectiune normala a unei cuadrice riglate este o hiperbola echilatera, atunci toate sectiunile normale ale acestei cuadrice sunt hiperbole echilatere; o astfel de cuadrica este o cuadrica echilatera.
Demonstratiile tuturor afirmatiilor cu caracter teoretic de mai sus le puteti gasi in cartea noastra:
Mihai Miculita & Dan Branzei: ANALOGII TRIUNGHI-TETRAEDRU, aparuta la Ed. "Paralela 45" din Pitesti in anul 2000.