det(A+M)=det(A)+det(M)

[pevcipierdut]

Fie A o matrice patratica de ordin n cu coeficienti complecsi. Sa se gaseasca toate matricile A astfel incat pt orice matrice M de ordin n si coeficienti complecsi sa avem det(A+M)=det(A)+det(M).

[pevcipierdut]

Problema am primit-o la un examen si profu a dat o solutie in care folosea teorema bazei incomplete care zice ca daca ai E un spatiu vectorial de dimensiune finita, sa zicem n, peste un corp K si ai \( L=\{y_1,\dots,y_p\} \) o familie libera in E atunci se poate completa L cu n-p vectori din E ca sa obtinem o baza a lui E.

[Dragos Fratila]

Presupun ca era cam asa solutia data de profu tau:

1. A nu poate fi inversabila - daca ar fi, atunci din relatia data obtinem ca \( \det(I+M)=1+\det(M) \) pt orice M. Alegem un M care sa aiba 0 si -1 printre valorile proprii. Rezulta 1=0. Contradictie.

2. Pp acum ca A nu e 0 iar detA=0. Atunci fie k>0 numarul maxim de vectori formati din coloanele matricei care sunt liniar independenti. Alegem M astfel: primele k coloane 0 dupa care urmatoarele n-k sa fie acei vectori care completeaza coloanele lui A astfel incat acestia sa formeze o baza MINUS vectorii repr de ultimele n-k coloane ale lui A).
Atunci A+M va fi inversabila. Pe cand A si M nu sunt. Va rezulta \( \det(A+M)=0 \). Contradictie.
Deci A=0.