Functii diferentiabile si discontinue

[Ciprian Oprisa]

i) Să se precizeze clasa de diferenţiabilitate a funcţiei \( f :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) \( f(x)=\left[x+\frac{1}{2}\right]-[2x]+[x] \)
ii) Pentru \( n \in \mathbb{N} \) fie \( f_n: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \), \( f_n(x)=\left[\frac{x+2^n}{2^{n+1}}\right] \). Să se studieze convergenţa seriei \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{f_n(x)} \).
iii) Să se stabilească dacă funcţiile diferenţiabile pot fi aproximate oricât de bine prin funcţii discontinue.

Concursul Naţional "Traian Lalescu", 2008, profil electric, anul I

[Beniamin Bogosel]

i) \( f\equiv 0 \), deci concluzia se impune.

ii) \( f_n(x)=\left\lfloor\frac{x}{2^n}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{x}{2^{n+1}}\right\rfloor \), deci \( \sum_{k=0}^nf_n(x)=\left\lfloor x \right\rfloor-\left\lfloor\frac{x}{2^{n+1}}\right\rfloor \). E clar ca seria tinde simplu la functia parte intreaga pentru \( x\geq 0 \) si la functia parte intreaga minus 1 pentru \( x<0 \). Mai ramane de studiat convergenta uniforma.

Definitia convergentei uniforme spune ca pentru orice \( \varepsilon>0 \exists n_0 \in \mathbb{N}: \forall n\geq n_0,\ \forall x \in \mathbb{R}, |\left\lfloor\frac{x}{2^{n+1}}\right\rfloor|<\varepsilon \). Daca ar exista un astfel de \( n_0 \) atunci pentru \( x \) destul de mare, nu ar mai fi adevarata ipoteza din definitie, deci seria nu converge uniform.[/tex]