JBTST IV 2008, Problema 1

[Laurian Filip]

Fie ABCD un patrulater cu laturile opuse neparalele. Paralela din A la BD taie dreapta CD in punctul F, iar paralela din D la AC taie dreapta AB in punctul E. Notam cu M; N; P; Q mijloacele segmentelor AC; BD; AF; respectiv DE. Sa se arate ca dreptele MN; PQ si AD sunt concurente.

[Beniamin Bogosel]

Se noteaza cu \( X,Y \) intersectiile \( QD\cap AP, \ DN\cap AM \) si \( S \in AD \cap PQ \). Deoarece \( AXDY \) este un paralelogram si \( MP,NQ \) trec prin centrul sau, daca aplicam teorema lui Melenaos in triunghiul \( AXD \) cu transversala \( P-Q-S \), aceasta va fi echivalent cu a aplica teorema lui Menelaos in triunghiul \( ADY \) cu transversala \( N-M-S \). Deci cele trei drepte se intalnesc in \( S \).