Functie infinit derivabila dar "deloc" analitica
Moderators: Mihai Berbec, Liviu Paunescu
-
Dragos Fratila
- Newton
- Posts: 313
- Joined: Thu Oct 04, 2007 10:04 pm
Functie infinit derivabila dar "deloc" analitica
Construiti o functie infinit derivabila (pe R) care nu este analitica in niciun punct (i.e. a carei serie Taylor nu converge in nicio vecinatate a niciunui punct).
"Greu la deal cu boii mici..."
-
Cezar Lupu
- Site Admin
- Posts: 612
- Joined: Wed Sep 26, 2007 2:04 pm
- Location: Bucuresti sau Constanta
- Contact:
Exista un exemplu de functie care este indefinit derivabila si care nu este analitica intr-un punct, mai precis in \( 0 \), si este urmatoarea:
\( f(x)=\left{\begin{array}{c}
e^{-\frac{1}{x^2}},\ x\geq 0\\
0,\ x< 0\end{array} \)
Acest exemplu poate fi gasit si in cartea lui Stein si Schakarki de Analiza Complexa. Acum, pentru a construi o functie care sa respecte cerintele enuntului din postul de mai sus, vom defini mai intai o functie care are "probleme analitice" in \( 0 \) si \( 1 \) care seamana destul de mult cu cea definita mai sus, i.e.
\( \varphi(x)=\left{\begin{array}{c}
e^{-\frac{1}{x^2}}e^{\frac{1}{(x-1)^2}},\ 0<x<1\\
0,\ x\geq 1\end{array} \)
Avem \( \varphi^{(k)}(0)=\varphi^{(k)}(1)=0 \) pentru \( k=1,2, \ldots \). Atunci functia definita in felul urmator
\( \zeta(x)=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i!}\varphi(2^i\{x\}) \) este indefinit derivabila si nicaieri analitica, unde \( \{x\} \) reprezinta partea fractionara a lui \( x \).
\( f(x)=\left{\begin{array}{c}
e^{-\frac{1}{x^2}},\ x\geq 0\\
0,\ x< 0\end{array} \)
Acest exemplu poate fi gasit si in cartea lui Stein si Schakarki de Analiza Complexa. Acum, pentru a construi o functie care sa respecte cerintele enuntului din postul de mai sus, vom defini mai intai o functie care are "probleme analitice" in \( 0 \) si \( 1 \) care seamana destul de mult cu cea definita mai sus, i.e.
\( \varphi(x)=\left{\begin{array}{c}
e^{-\frac{1}{x^2}}e^{\frac{1}{(x-1)^2}},\ 0<x<1\\
0,\ x\geq 1\end{array} \)
Avem \( \varphi^{(k)}(0)=\varphi^{(k)}(1)=0 \) pentru \( k=1,2, \ldots \). Atunci functia definita in felul urmator
\( \zeta(x)=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i!}\varphi(2^i\{x\}) \) este indefinit derivabila si nicaieri analitica, unde \( \{x\} \) reprezinta partea fractionara a lui \( x \).
An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says “You’re all idiots”, and pours two beers.