Suma non-standard

Filip Chindea · Post by **Filip Chindea** » Sat Jul 12, 2008 9:35 pm

Fie \( n \) reale pozitive \( a_j \) cu suma \( 1 \). Aratati ca

\( \sum \frac{a_j}{1 + a_1 + \cdots + a_j} < \frac{1}{\sqrt{2}} \).

[ Radu Gologan - Teste tip OIM 2008 - Problema 2/Test 2 ]

Marius Mainea · Post by **Marius Mainea** » Sat Jul 12, 2008 11:37 pm

Aplicam CBS.

\( \sum {\frac{a_j}{1+a_1+...+a_j}}=\sum {\frac{\sqrt{a_j}}{1+a_1+...+a_j}\sqrt{a_{j}}}\leq \sqrt{(\sum {\frac{a_j}{(1+a_1+...+a_j)^2}})(\sum {a_j})}< \)
\( <\sqrt{\sum {\frac{a_j}{(1+a_1+...+a_{j-1})(1+a_1+...+a_j)}}}=\sqrt{{\sum {(\frac{1}{1+a_1+...+a_{j-1}}-\frac{1}{1+a_1+...+a_j}})}}= \)
\( =\sqrt{1-\frac{1}{1+a_1+...+a_n}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \).

Filip Chindea · Post by **Filip Chindea** » Sun Jul 13, 2008 2:50 pm

Corect! Remarcati si ca in cazul \( a_1 = \cdots = a_n = 1/n \) limita membrului stang este \( \log(2) \approx 0.69 < 0.71 \approx 1/\sqrt{2} \), deci este surprinzator de "sharp" pentru modul "brutal" in care se rezolva. Inca nu am idee care este cea mai buna constanta (probabil una din cele doua).
Vezi si aici.

Post by **Beniamin Bogosel** » Sat Nov 21, 2009 5:09 pm

Pentru cunoscatori, suma din membrul stang este suma Riemann pentru o anumita diviziune a lui \( [1,2] \) si functia \( \frac{1}{x} \). Suma este tot timpul mai mica, si poate fi facuta oricat de "aproape" de \( \int_1^2 \frac{1}{x}dx= \ln2 \). Deci \( \ln 2 \) este cea mai buna constanta pentru care inegalitatea este adevarata.