Ecuatie putere si exponentiala in numere naturale

[faviu]

Gasiti numerele naturale nenule a si b pentru care

\( a^5+a^4=7^b-1 \)

(Belarus 2007)

[Vlad Matei]

Ceea ce trebuie observat e ca \( n^5+n^4+1=(n^2+n+1)(n^3-n+1) \) de unde \( n^2+n+1=7^{a} \) si \( n^3-n+1=7^b \) cu \( a+b=m \). Se observa usor ca \( b>a \) iar ultima se rescrie \( 7^b=7^{a}(n-1)-(n-2) \) de unde avem ca \( n=2+k7^{a} \) cu k numar natural. Acum avem ca in prima \( 0 \equiv 7 (mod \hspace{1mm} 7^{a}) \) de unde \( a=1 \) si \( n=2 \).