\( p^2\geq 16Rr-5r^2.\ (*) \)
Desi inegalitatea \( (*) \) nu prea spune nimic la prima vedere, in cartea domnilor profesori Liviu Nicolescu si Wladimir Boskoff, Probleme practice de geometrie, este prezentata o solutie folosind calculul distantei dintre centrul de greutate \( G \) si centrul cercului inscris triunghiului \( I \). Mai precis, se poate demonstra, nu foarte greu, ca
\( IG^{2}=\frac{1}{9}(p^2+5r^2-16Rr). \)
Surpriza consta in faptul ca inegalitatea \( (*) \) are echivalent algebric
cazul \( t=1 \) al inegalitatii lui Schur care afirma:
Daca \( x, y, z \) sunt numere reale pozitive, iar \( t \) este un numar real, atunci are loc inegalitatea:
\( x^{t}(x-y)(x-z)+y^{t}(y-z)(y-x)+z^{t}(z-x)(z-y)\geq 0. \)
In articol veti mai gasi diverse aplicatii ale acestei inegalitati date pe la diverse
concursuri si olimpiade Internationale sau baraje de selectie. Una dintre ele o
constituie celebra deja "inegalitate Iran'96" care, probabil, este una dintre cele
mai grele probleme date vreodata intr-un concurs. Ea afirma ca
Daca \( x, y, z \) sunt numere reale strict pozitive atunci avem
\( \frac{1}{(x+y)^{2}}+\frac{1}{(y+z)^{2}}+\frac{1}{(x+y)^{2}}\geq\frac{9}{4(xy+yz+zx)}. \)
Orice fel de comentarii legate de acest subiect, sunt binevenite.
