Clase de echivalenta

[Beniamin Bogosel]

Se considera relatia de echivalenta pe \( \mathbb{R} \):

\( x\sim y \Leftrightarrow x-y \in \mathbb{Q} \).

Demonstrati ca numarul claselor de echivalenta este \( c=card\ \mathbb{R} \).

[Aliz]

Alegem o baza a spatiului vectorial \( \mathbb{R} \) peste \( \mathbb{Q} \) (asta avand dimensiunea c), care il contine pe 1. (Exista o teorema, care ne permite acest lucru, o consecinta a axiomei alegerii.) Daca luam doua elemente ale bazei, x si y, ele sigur se afla in clase de echivalenta diferite. In caz contrar am obtine \( x-y=q\cdot 1 \), unde \( q \in \mathbb{Q} \), deci cele trei elemente ale bazei \( 1, x, y \) sunt liniar dependente, contradictie. In concluzie numarul claselor de echivalenta este \( \ge \) dimensiunea bazei \( =c \) si clar \( \le card \,\mathbb{R}=c \).

[Beniamin Bogosel]

E adevarat ca o baza Hamel este de puterea continuumului? Exista vreo demonstratie?