Polinoame ireductibile

[Beniamin Bogosel]

Demonstrati ca
a) \( f=X^4+2iX-1+3i \) este ireductibil in \( \mathbb{Z}[X] \).

b) \( g=X^3+(4+7\sqrt{2})X^2+41 \) este ireductibil in \( \mathbb{Z}[\sqrt{2}][X] \).

[Vlad Matei]

Este suficient la a) sa ne uitam la polinoamul obtinut prin aplicarea normei si sa demonstram ca este ireductibil peste \( \mathbb{Z}[X] \).
Pentru a) \( \overline{f}=X^8-2X^4+4X^2+12X+10 \) caruia putem sa ii aplicam criteriul lui Eisenstein pentru \( p=2 \).

Pentru b) avem pentru a fi reductibil ca necesarmente are o radacina in \( \mathbb{Z}[\sqrt{2}][X] \). O notam cu \( a+b\sqrt{2} \) cu \( a,b \in\mathbb{Z} \). Dupa calcule avem sistemul \( \left{ \begin{array}{ccc} a^3+6ab^2+4a^2+8b^2+28ab+41=0 \\ 3a^2b+2b^3+8ab+7a^2+14b^2=0 \end{array} \). Din ultima se deduce \( b|7a^2 \). Daca \( (b,7)=1 \) rezulta din prima ecuatie \( b|41 \). Dupa verificari ne da imposibil. Daca \( b=7^kb_{1} \) avem necesar \( k=1 \) altfel \( 7|a \) si daca ne uitam la prima ecuatie obtinem contradictie. Asadar \( b=7b_{1} \) cu \( b_{1}|a^{2} \). Din nou \( b_{1}|41 \). Se verifica iarasi cazurile si obtinem contradictie.

[Beniamin Bogosel]

Ideea e folosirea criteriului Einsenstein pentru un inel factorial oarecare pentru inelele particulare din a) si b), gasind in fiecare caz un numar prim adecvat.