Anvelopa injectiva si functori aditivi

[Cezar Lupu]

Fie \( R \) un inel. Un \( R- \)modul \( E \) este injectiv daca este sumand direct al oricarui modul care il contine. Orice modul poate fi scufundat intr-un modul injectiv. Numim anvelopa injectiva a unui modul \( M \) un modul injectiv \( E(M) \) care contine pe \( M \) si pentru care nu exista un modul injectiv \( E\prime \) astfel ca \( M\subset E\prime\subset E(M) \) si \( E\prime\neq E(M) \). Anvelopa injectiva, \( E(M) \) exista si este unica pana la un izomorfism.
Un functor \( T \) se numeste aditiv daca pentru orice pereche de \( R- \)module \( A, B \) avem \( T(f)+T(g)=T(f+g) \) pentru orice \( f, g\in Hom_{R}(A, B) \).

1) Sa se arate ca exista un inel \( R \) pentru care nu exista nici un functor aditiv \( T:R-mod\to R-mod \) pentru care \( T(M)=E(M) \).

2) Aratati ca exista un inel \( R \) pentru care nu exista nici un functor
\( T:R-mod\to R-mod \) pentru care \( T(M)=E(M) \).

3)* Gasiti toate inele \( R \) pentru care exista un functor cu proprietatea mentionata la 2).

American Mathematical Monthly, 1989

[Dragos Fratila]