Bisectoare si mediane
Posted: Sat Nov 15, 2008 1:59 am
In triunghiul oarecare ABC, bisectoarele (BE si (CF taie mediana AD in punctele M si N. Sa se arate ca \( \frac{AM}{MD}+\frac{AN}{ND}>2 \).
In triunghiul \( ABD \), din teorema bisectoarei rezulta \( \frac{AM}{MD}=\frac{AB}{BD} \).
In triunghiul \( ADC \), din teorema bisectoarei rezulta \( \frac{AN}{ND}=\frac{AC}{DC} \).
Cum AD mediana \( \Rightarrow BD=DC \).
Atunci \( \frac{AM}{MD}+\frac{AN}{ND}=\frac{AB}{BD}+\frac{AC}{DC}=\frac{AB+AC}{2BD}=\frac{AB+AC}{BD} \).
Dar \( \frac{AB+AC}{BD}>2\Leftrightarrow AB+AC>2BD, AB+AC>BC \), adevarat.