Inegalitate in legatura cu conditia \sum a^2 = 4

[Radu Titiu]

Daca \( a,b,c,d>0 \) si are loc relatia \( a^2+b^2+c^2+d^2=4 \), aratati ca \( a^3+b^3+c^3+d^3<8 \), iar 8 este cea mai buna constanta.

[Claudiu Mindrila]

Prima parte a inegalitatii o pot demonstra. Sa arat ca este cea mai buna constanta, ei bine, aici o sa ma gandesc ceva mai mult...

[Laurian Filip]

Pai daca ai aratat aia restul e simplu.

Fie \( a=2-\frac{1}{n} \) si \( b=c=d=\sqrt{\frac{1}{3}(\frac{4}{n}-{\frac{1}{n^2})} \).

\( a^2+b^2+c^2+d^2=4 \)
iar
\( \lim_{n \to \infty}(a^3+b^3+c^3+d^3)=8 \).