Vectori

[alex2008]

Fie A, B, C trei puncte distincte in plan . Sa se arate ca A, B, C coliniare \( \leftrightarrow \) Exista x, y, z cu \( x+y+z=o \) astfel incat pentru orice punct O apartine planului \( x\cdot\vec{OA}+y\cdot\vec{OB}+z\cdot\vec{OC}=\vec0 \) . Va rog faceti-o pe ambele parti .

[Laurian Filip]

"\( \Longrightarrow \)"

sunt coliniare, deci exista k real astfel incat
\( \frac{\vec{AB}}{\vec{BC}}=k \)

din proprietatile vectorilor rezulta
\( \vec{OB}=\frac{\vec{OA}+k\vec{OC}}{k+1} \)

\( x=-\frac{1}{k+1}, y=1, z=-\frac{k}{k+1} \) indeplinesc ambele conditii.


"\( \Longleftarrow \) "

\( \vec{OB}=\frac{z\vec{OC}+x\vec{OA}}{x+z} \)

deci A,B,C coliniare.

[Marcelina Popa]

La reciproca se putea porni si asa: daca relatia are loc pentru orice punct O din plan, atunci ea are loc si pentru O=A.

A, sa nu uit: la reciproca trebuie precizat "exista x, y si z, nu toate nule, astfel incat ...".

[firebomb]

Deci nu inteleg la reciproca ... Se pleaca de la x=-1/1+k , y=1 , z=-k/k+1 si si foloseste relatia vectoriala OM=1/1+k ori OA +k/k+1 ori OB ; OM , OB , OA vectori sau cum ? ... nu inteleg .

[alex2008]

Da ... nici eu nu prea inteleg ...

[Laurian Filip]

la reciproca stim ca \( x+y+z=0 \) de unde \( y=-x-z \) si inlocuim y in \( x\cdot\vec{OA}+y\cdot\vec{OB}+z\cdot\vec{OC}=\vec0 \) si rezulta relatia de mai sus.