Sume constante, periodicitate si coprimalitate pe N x N

[Filip Chindea]

Pentru \( k > 1 \) natural, consideram reteaua patratelor unitate determinate de laticea punctelor de coordonate intregi din primul cadran al planului, avand drept elemente numere reale.
Reteaua se numeste constanta daca toate elementele sale sunt egale. Reteaua se numeste \( k \)-balansata daca nu este constanta, iar sumele subpatratelor \( k \times k \) au o aceeasi valoare \( v_k \). O retea care este in acelasi timp \( p \)-balansata si \( q \)-balansata va fi numita \( (p, q) \)-balansata, sau dublu balansata, daca valorile \( p, q \) au fost precizate anterior. Daca \( p, q \) sunt relativ prime, reteaua se numeste co-prima.
Vom numi \( (M \times N) \)-samanta o retea \( M \times N \), ancorata in origine si situata in primul cadran, si care extinsa prin periodicitate rezulta intr-o retea \( (p, q) \)-balansata; mai precis, notand numerele din retea prin \( a_{ij} \), pentru orice \( i, j \) naturale

\( a_{ij} = a_{i + M, j} = a_{i, j + N} \).

(a) Aratati ca pentru o retea \( (p, q) \)-balansata, \( q^2v_p = p^2v_q \).
(b) Aratati ca elementele unei retele co-prima \( (p, q) \)-balansata trebuie sa aiba mai mult de doua valori diferite. Aratati ca acest fapt nu mai este obligatoriu daca reteaua nu este co-prima, adica \( (p, q) > 1 \).
(c) Aratati ca orice retea co-prima \( (p, q) \)-balansata provine dintr-o samanta.
(d) Aratati ca exista retele \( (p, q) \)-balansate (folosind doar trei valori diferite) pentru valori arbitrare \( p, q \).

Bonus

(e) Aratati ca o retea \( k \)-balansata, sau o retea \( (p, q) \)-balansata dar nu co-prima (astfel, \( (p, q) > 1 \)) nu trebuie neaparat sa provina dintr-o samanta.
(f) Determinati valoarea minima posibila \( T \) pentru o \( (T \times T) \)-samanta patrata care genereaza o retea co-prima \( (p, q) \)-balansata, cand \( p, q \) sunt ambele prime.
(g) Aratati ca, pentru orice \( p, q \) relativ prime, exista o retea co-prima \( (p, q) \)-balansata provenind dintr-o \( (T \times T) \)-samanta patrata, fara a putea proveni dintr-o samanta mai mica (\( M \le T, \ N \le T \) si \( MN < T^2 \)).

[ Stelele Matematicii 2008 - Problema 6 ]

Observatie. Punctele (a)-(d) formeaza baza de \( 7 \) puncte ale problemei. Se acorda puncte bonus pentru restul intrebarilor, fara insa a suplini punctele alocate problemei \( \line(1,0){20} \) pentru a fi acordate, trebuie obtinute cel putin \( 6 \) puncte in cadrul problemei.