Conditie ca un triunghi sa fie isoscel
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Andrei Nedelcu
Conditie ca un triunghi sa fie isoscel
Daca paralelele duse prin punctele de contact al cercului inscris cu laturile unui triunghi la medianele corespunzatoare ale acestuia sunt concurente, atunci triunghiul este isoscel.
-
Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
Frumoasa problema ! Ma mir ca am descoperit-o. Ajunsese departe de ... interesul userilor.
\( F\in (AB) \) ale cercului inscris cu triunghiul \( ABC \) ; punctul \( X\in (EF) \) pentru care \( DX\ \parallel\ AM \)
si analoagele \( Y\in (DF) \) , \( Z\in (DE)\ . \) Se arata \( ^{(*)} \) (nu prea usor !) ca \( \ \overline {\underline {\left\|\ \frac {XF}{XE}=\frac {b(p-b)(2c-a)}{c(p-c)(2b-a)}\ \right\| \) .
Analog se obtin si rapoartele \( \frac {YD}{YF}=\frac {c(p-c)(2a-b)}{a(p-a)(2c-b)} \) si \( \frac {ZE}{ZD}=\frac {a(p-a)(2b-c)}{b(p-b)(2a-c)}\ . \) Prin urmare
dreptele \( DX \) , \( EY \) , \( FZ \) sunt concurente \( \Longleftrightarrow\ \) teorema Ceva in \( \triangle\ DEF\ \Longleftrightarrow \)
\( (2a-b)(2b-c)(2c-a)=(2a-c)(2b-a)(2c-b) \) \( \Longleftrightarrow \) \( (a-b)(b-c)(c-a)=0 \) (vezi aici).
Observatie. Notam \( U\in AX\ \cap\ BC \) , \( V\in BY\ \cap\ CA \) , \( W\in CZ\ \cap\ AB\ . \)
Se arata usor ca \( \frac {XF}{XE}=\frac bc\cdot\frac {UB}{UC} \) , adica \( \frac {UB}{UC}=\frac {(p-b)(2c-a)}{(p-c)(2b-a)} \) si analoagele. Putem acum afirma ca
\( AX\ \cap\ BY\ \cap\ CZ\ne\emptyset \) \( \Longleftrightarrow \) dreptele \( DX\ \cap\ EY\ \cap\ FZ\ne\emptyset \) \( \Longleftrightarrow \) \( a=b\ \vee\ b=c\ \vee\ c=a\ . \)
Vezi aici o tema de cercetare.
===========================================================================
\( ^{(*)}\ \ \)Se arata usor identitatea \( a(p-a)\stackrel{(1)}{\ \ =\ \ }(p-b)(2c-a)+c(b-c)\stackrel {(2)}{\ \ =\ \ }(p-c)(2b-a)+b(c-b)\ . \)
Notam \( T\in DX\cap AB \) si \( \ L\in EF\cap AM\ . \) Se arata usor ca \( \ \frac {LF}{b}=\frac {LE}{c}=\frac {EF}{b+c}\ . \) Deoarece
\( \overline {DXT}\ \parallel\ \overline {MLA} \) obtinem \( \ \frac {TA}{TB}=\frac {DM}{DB}=\frac {b-c}{a+c-b}\ \Longrightarrow \) \( \frac {TA}{b-c}=\frac {TB}{a+c-b}=\frac ca\ \Longrightarrow \)
\( TA=\frac {c(b-c)}{a}\ \Longrightarrow\ \ \frac {LX}{LF}=\frac {AT}{AF}=\frac {c(b-c)}{a(p-a)}\ . \) Asadar obtinem sirul de rapoarte (proportia)
\( \frac {LX}{c(b-c)}=\frac {LF}{a(p-a)}=\frac {XF}{a(p-a)-c(b-c)}\stackrel{(1)}{\ \ =\ \ }\frac {XF}{(p-b)(2c-a)}=\frac {LE}{\frac {ac(p-a)}{b}}=\frac {XE}{c(b-c)+\frac {ac(p-a)}{b}}\ \Longrightarrow \)
\( \frac {XF}{XE}=\frac {(p-b)(2c-a)}{c(b-c)+\frac {ac(p-a)}{b}}=\frac {b(p-b)(2c-a)}{c\left[b(b-c)+a(p-a)\right]}\stackrel{(2)}{\ \ =\ \ }\frac {b(p-b)(2c-a)}{c(p-c)(2b-a)}\ . \) In concluzie, \( \frac {XF}{XE}=\frac {b(p-b)(2c-a)}{c(p-c)(2b-a)}\ . \)
In triunghiul ABC notam : mijlocul \( M \) al laturii \( [BC] \) ; punctele de contact \( D\in (BC) \) , \( E\in (CA) \) ,Andrei Nedelcu wrote: Daca paralelele duse prin punctele de contact ale cercului inscris cu laturile unui triunghi
la medianele corespunzatoare ale acestuia sunt concurente, atunci triunghiul este isoscel.
\( F\in (AB) \) ale cercului inscris cu triunghiul \( ABC \) ; punctul \( X\in (EF) \) pentru care \( DX\ \parallel\ AM \)
si analoagele \( Y\in (DF) \) , \( Z\in (DE)\ . \) Se arata \( ^{(*)} \) (nu prea usor !) ca \( \ \overline {\underline {\left\|\ \frac {XF}{XE}=\frac {b(p-b)(2c-a)}{c(p-c)(2b-a)}\ \right\| \) .
Analog se obtin si rapoartele \( \frac {YD}{YF}=\frac {c(p-c)(2a-b)}{a(p-a)(2c-b)} \) si \( \frac {ZE}{ZD}=\frac {a(p-a)(2b-c)}{b(p-b)(2a-c)}\ . \) Prin urmare
dreptele \( DX \) , \( EY \) , \( FZ \) sunt concurente \( \Longleftrightarrow\ \) teorema Ceva in \( \triangle\ DEF\ \Longleftrightarrow \)
\( (2a-b)(2b-c)(2c-a)=(2a-c)(2b-a)(2c-b) \) \( \Longleftrightarrow \) \( (a-b)(b-c)(c-a)=0 \) (vezi aici).
Observatie. Notam \( U\in AX\ \cap\ BC \) , \( V\in BY\ \cap\ CA \) , \( W\in CZ\ \cap\ AB\ . \)
Se arata usor ca \( \frac {XF}{XE}=\frac bc\cdot\frac {UB}{UC} \) , adica \( \frac {UB}{UC}=\frac {(p-b)(2c-a)}{(p-c)(2b-a)} \) si analoagele. Putem acum afirma ca
\( AX\ \cap\ BY\ \cap\ CZ\ne\emptyset \) \( \Longleftrightarrow \) dreptele \( DX\ \cap\ EY\ \cap\ FZ\ne\emptyset \) \( \Longleftrightarrow \) \( a=b\ \vee\ b=c\ \vee\ c=a\ . \)
Vezi aici o tema de cercetare.
===========================================================================
\( ^{(*)}\ \ \)Se arata usor identitatea \( a(p-a)\stackrel{(1)}{\ \ =\ \ }(p-b)(2c-a)+c(b-c)\stackrel {(2)}{\ \ =\ \ }(p-c)(2b-a)+b(c-b)\ . \)
Notam \( T\in DX\cap AB \) si \( \ L\in EF\cap AM\ . \) Se arata usor ca \( \ \frac {LF}{b}=\frac {LE}{c}=\frac {EF}{b+c}\ . \) Deoarece
\( \overline {DXT}\ \parallel\ \overline {MLA} \) obtinem \( \ \frac {TA}{TB}=\frac {DM}{DB}=\frac {b-c}{a+c-b}\ \Longrightarrow \) \( \frac {TA}{b-c}=\frac {TB}{a+c-b}=\frac ca\ \Longrightarrow \)
\( TA=\frac {c(b-c)}{a}\ \Longrightarrow\ \ \frac {LX}{LF}=\frac {AT}{AF}=\frac {c(b-c)}{a(p-a)}\ . \) Asadar obtinem sirul de rapoarte (proportia)
\( \frac {LX}{c(b-c)}=\frac {LF}{a(p-a)}=\frac {XF}{a(p-a)-c(b-c)}\stackrel{(1)}{\ \ =\ \ }\frac {XF}{(p-b)(2c-a)}=\frac {LE}{\frac {ac(p-a)}{b}}=\frac {XE}{c(b-c)+\frac {ac(p-a)}{b}}\ \Longrightarrow \)
\( \frac {XF}{XE}=\frac {(p-b)(2c-a)}{c(b-c)+\frac {ac(p-a)}{b}}=\frac {b(p-b)(2c-a)}{c\left[b(b-c)+a(p-a)\right]}\stackrel{(2)}{\ \ =\ \ }\frac {b(p-b)(2c-a)}{c(p-c)(2b-a)}\ . \) In concluzie, \( \frac {XF}{XE}=\frac {b(p-b)(2c-a)}{c(p-c)(2b-a)}\ . \)