Page 1 of 1
Conditie ca un triunghi sa fie isoscel
Posted: Sun Dec 14, 2008 11:15 am
by Andrei Nedelcu
Daca paralelele duse prin punctele de contact al cercului inscris cu laturile unui triunghi la medianele corespunzatoare ale acestuia sunt concurente, atunci triunghiul este isoscel.
Posted: Fri Feb 06, 2009 2:02 pm
by Virgil Nicula
Frumoasa problema ! Ma mir ca am descoperit-o. Ajunsese departe de ... interesul userilor.
Andrei Nedelcu wrote: Daca paralelele duse prin punctele de contact ale cercului inscris cu laturile unui triunghi
la medianele corespunzatoare ale acestuia sunt concurente, atunci triunghiul este isoscel.
In triunghiul ABC notam : mijlocul \( M \) al laturii \( [BC] \) ; punctele de contact \( D\in (BC) \) , \( E\in (CA) \) ,
\( F\in (AB) \) ale cercului inscris cu triunghiul \( ABC \) ; punctul \( X\in (EF) \) pentru care \( DX\ \parallel\ AM \)
si analoagele \( Y\in (DF) \) , \( Z\in (DE)\ . \) Se arata \( ^{(*)} \) (nu prea usor !) ca \( \ \overline {\underline {\left\|\ \frac {XF}{XE}=\frac {b(p-b)(2c-a)}{c(p-c)(2b-a)}\ \right\| \) .
Analog se obtin si rapoartele \( \frac {YD}{YF}=\frac {c(p-c)(2a-b)}{a(p-a)(2c-b)} \) si \( \frac {ZE}{ZD}=\frac {a(p-a)(2b-c)}{b(p-b)(2a-c)}\ . \) Prin urmare
dreptele \( DX \) , \( EY \) , \( FZ \) sunt concurente \( \Longleftrightarrow\ \) teorema Ceva in \( \triangle\ DEF\ \Longleftrightarrow \)
\( (2a-b)(2b-c)(2c-a)=(2a-c)(2b-a)(2c-b) \) \( \Longleftrightarrow \) \( (a-b)(b-c)(c-a)=0 \) (vezi aici).
Observatie. Notam \( U\in AX\ \cap\ BC \) , \( V\in BY\ \cap\ CA \) , \( W\in CZ\ \cap\ AB\ . \)
Se arata usor ca \( \frac {XF}{XE}=\frac bc\cdot\frac {UB}{UC} \) , adica \( \frac {UB}{UC}=\frac {(p-b)(2c-a)}{(p-c)(2b-a)} \) si analoagele. Putem acum afirma ca
\( AX\ \cap\ BY\ \cap\ CZ\ne\emptyset \) \( \Longleftrightarrow \) dreptele \( DX\ \cap\ EY\ \cap\ FZ\ne\emptyset \) \( \Longleftrightarrow \) \( a=b\ \vee\ b=c\ \vee\ c=a\ . \)
Vezi aici o tema de cercetare.
===========================================================================
\( ^{(*)}\ \ \)Se arata usor identitatea \( a(p-a)\stackrel{(1)}{\ \ =\ \ }(p-b)(2c-a)+c(b-c)\stackrel {(2)}{\ \ =\ \ }(p-c)(2b-a)+b(c-b)\ . \)
Notam \( T\in DX\cap AB \) si \( \ L\in EF\cap AM\ . \) Se arata usor ca \( \ \frac {LF}{b}=\frac {LE}{c}=\frac {EF}{b+c}\ . \) Deoarece
\( \overline {DXT}\ \parallel\ \overline {MLA} \) obtinem \( \ \frac {TA}{TB}=\frac {DM}{DB}=\frac {b-c}{a+c-b}\ \Longrightarrow \) \( \frac {TA}{b-c}=\frac {TB}{a+c-b}=\frac ca\ \Longrightarrow \)
\( TA=\frac {c(b-c)}{a}\ \Longrightarrow\ \ \frac {LX}{LF}=\frac {AT}{AF}=\frac {c(b-c)}{a(p-a)}\ . \) Asadar obtinem sirul de rapoarte (proportia)
\( \frac {LX}{c(b-c)}=\frac {LF}{a(p-a)}=\frac {XF}{a(p-a)-c(b-c)}\stackrel{(1)}{\ \ =\ \ }\frac {XF}{(p-b)(2c-a)}=\frac {LE}{\frac {ac(p-a)}{b}}=\frac {XE}{c(b-c)+\frac {ac(p-a)}{b}}\ \Longrightarrow \)
\( \frac {XF}{XE}=\frac {(p-b)(2c-a)}{c(b-c)+\frac {ac(p-a)}{b}}=\frac {b(p-b)(2c-a)}{c\left[b(b-c)+a(p-a)\right]}\stackrel{(2)}{\ \ =\ \ }\frac {b(p-b)(2c-a)}{c(p-c)(2b-a)}\ . \) In concluzie, \( \frac {XF}{XE}=\frac {b(p-b)(2c-a)}{c(p-c)(2b-a)}\ . \)