Doua matrice care comuta

[bae]

Aratati ca pentru orice doua matrice \( A, B\in M_n(\mathbb{R}) \) cu proprietatea ca \( AB = BA \), avem ca \( \det(A^2+B^2+I_n)\geq 0 \).

Problema este si pe mathlinks, dar solutia data acolo este una destul de laborioasa (peste doua pagini ). Poate gaseste cineva una mai simpla!

[Bogdan Posa]

O generalizare a acestei probleme (tot pe mathlinks gasita): \( \det(A \overline A+I_{n}) \geq 0 \).

Obs: \( \det(A^2+B^2+I_{n})= \det((A+iB)(A-iB)+I_{n})) \).

[Bogdan Cebere]

\( \det(A \overline A+I_{n}) \geq 0 \)

Daca \( A \) are valorile proprii \( \alpha_i, i=\overline{1,n}, \) atunci \( \det (A \overline A+I_{n}) \) se scrie \( (\alpha_1 \overline \alpha_1 +1)(\alpha_2 \overline \alpha_2 +1)...(\alpha_n \overline \alpha_n +1) \), care evident ca e pozitiv...

[Bogdan Cebere]

\( \det (A \overline A+I_{n}) \) se scrie \( (\alpha_1 \overline \alpha_1 +1)(\alpha_2 \overline \alpha_2 +1)...(\alpha_n \overline \alpha_n +1) \)

Intr-adevar, nu e de loc evident si posibil sa fie gresit... Inca nu am o demonstratie sau un contraexemplu...

[o.m.]

\( \det (A \overline A+I_{n}) \) se scrie \( (\alpha_1 \overline \alpha_1 +1)(\alpha_2 \overline \alpha_2 +1)...(\alpha_n \overline \alpha_n +1) \)

Take

A=
(1 1)
(-1 1)
with eigenvalues 1+i, 1-i

\( A\overline A=A^2= \)
(0 2)
(-2 0)
with eigenvalues 2i,-2i

\( \det(A\overline A+I)=\det(A^2+I)=5 \)

On the other side
((1+i)(1-i)+1)((1-i)(1+i)+1)=9.

[Bogdan Posa]

Avem de demonstrat ca \( \det (X \overline X+I_{n}) \geq 0 \), cu \( X \) comuta cu \( \overline X \).

Cred ca este valabila urm. teorema: Pentru doua matrice care comuta \( A,B \) valorile proprii ale matricei \( AB \) sunt \( a_{i}b_{i} \), unde \( a_{i} , b_{i} \) sunt valorile proprii pt A si B (asemanatoare cu aceasta http://mateforum.ro/viewtopic.php?t=1786)
Intreb ...cum aflu valorile proprii ale matricei \( \overline X \) ?

[Alin Galatan]

Teorema de care zici este adevarata si se demonstreaza identic cu cea pe care ai dat-o in link.
Acum, daca consideram \( x_i \) valorile proprii ale lui \( X \), cele ale lui \( \overline{X} \) sunt \( \overline{x_i} \). Insa in momentul in care inmultesti \( X\overline{X} \), nu stii ca valorile proprii se inmultesc "cum trebuie" (adica \( x_i\cdot \overline{x_i}) \). Exemplu de inmultire "cum nu trebuie" este cel dat de o.m.
Situatia e urmatoarea: daca \( \sigma \) e o permutare din \( S_n \), atunci
\( \det(X\overline{X}+I_n)=\prod_{i=1}^{n}(x_i\cdot\overline{x_{\sigma(i)}}+1) \).
Stim ca produsul asta e real. Deci ar fi suficient sa aratam ca daca un produs de tipul celui de sus e real, atunci e pozitiv. Nu stiu daca asa e. Pentru \( n=2 \) e adevarat.
Putem incerca in prima faza sa luam \( \sigma(i)=i+1 \) pentru \( i<n \) si \( \sigma(n)=1 \). Adica sa fie permutate circular.

[Bogdan Posa]

Am gasit linkul unde vazusem problema, vezi aici.
Un user zice: "Nobody (I repeate: nobody in the mathematical world) sent a complete solution". Eu unu am pus pixu jos si o iau ca lema .
In acest link este o demonstratie a lui 'olorin' (incepe frumos, inteleg), dar apoi cand se apuca sa demonstreze ca numarul de valori proprii mai mici decat -1 este par ...gata ...se rupe firu.

[bae]

Un user zice: "Nobody (I repeate: nobody in the mathematical world) sent a complete solution " . )

Unii mai vorbesc si ca sa se afle in treaba. Problema in forma \( \det(A\overline{A}+I_n)\geq 0 \) apare ca problema E2525 din AMM in anul 1975 si este rezolvata (in aceeasi revista) in anul imediat urmator, mai precis in AMM vol. 83, n°6, June 1976, pp. 483-484.

Ceea ce este si mai interesant este faptul ca matricea \( A\overline{A} \) este similara cu patratul unei matrice reale, fapt care rezolva imediat problema. Acest rezultat este mentionat in cartea Horn, Johnson - Matrix analysis, vezi aici.