Page 1 of 1
Ecuatie de gradul II
Posted: Sat Dec 20, 2008 8:05 pm
by alex2008
Se da ecuatia \( x^2-5x-2=0 \) cu radacinile \( x_1,x_2 \) . Sa se afle valoarea expresiei : \( E=\frac{2x_1^3-3x_1^2+1}{x_1^3-5x_1^2}+\frac{2x_2^3-3x_2^2+1}{x_2^3-5x_2^2} \) .
Posted: Mon Feb 09, 2009 2:45 pm
by Virgil Nicula
O remarca. Pentru o ecuatie polinomiala de grad \( n\ge 2 \) , orice putere naturala \( x_s^{n+p}\ ,\ p\in \mathbb N \) a unei
radacini \( x_s\ ,\ s\in\overline {1,n} \) se poate exprima in functie de puterile sale inferioare lui \( n\ , \) adica \( x_s^{n+p}=\sum_{k=0}^{n-1}A_kx_s^{k}\ . \)
De exemplu, pentru ecuatia de gradul doi \( x^2-mx+n=0 \) avem \( x_k^{2+p}=mx_k^{1+p}-nx_k^p\ ,\ k\in\overline {1,2}\ ,\ p\in\mathbb N \) .
\( x_k^2=mx_k-n \)
\( x_k^3=mx_k^2-nx_k=m\left(mx_k-n\right)-nx_k=\left(m^2-n\right)x_k-mn \)
\( x_k^4=mx_k^3-nx^2_k=m\left[\left(m^2-n\right)x_k-mn\right]-n\left(mx_k-n\right)=m\left(m^2-2n\right)x_k+n\left(n-m^2\right) \)
etc.
Posted: Sun Mar 01, 2009 1:54 pm
by mihai miculita
\( \mbox{Nu strica putina teorie in plus! Aici merge insa mai simplu: }\\
x_1^2-5x_1-2=0\Rightarrow x_1^3-5x_1^2=2x_1 \mbox{ si analog: } x_2^3-5x_2=2x_2\Rightarrow E=\frac{2x_1^3-3x_1^2+1}{x_1^3-5x_1^2}+\frac{2x_2^3-3x_2^2+1}{x_2^3-5x_2^2}=
\frac{2.(x_1^3-5x_1^2)+7.x_1^2+1}{x_1^3-5x_1^2}+\frac{2.(x_2^3-5x_2^2)+7x_2^2+1}{x_2^3-5x_2^2}=\\
=4+\frac{7.x_1^2+1}{x_1^3-5x_1^2}+\frac{7x_2^2+1}{x_2^3-5x_2^2}=4+\frac{7.x_1^2+1}{2x_1}+\frac{7.x_2^2+1}{2x_2}=4+\frac{7}{2}.(x_1+x_2)+\frac{x_1+x_2}{2x_1x_2}. \)
Posted: Mon Mar 02, 2009 1:14 am
by Virgil Nicula
Evident, esti neinspirat sa nu speculezi particularitatea problemei (ca in cazul de fata)
ca sa nu zic nebun si sa mergi in pas cadentat pe drumul indicat de vreo metoda generala ...
Oi fi tu elev bine instruit de vreun tambur major, dar esti lipsit de initiativa in situatii particulare.
Asa ca este bine zis - "in general nu strica putina teorie in plus, insa aici merge mai simplu" ....
Noapte buna si numai bine, dl. profesor Miculita.