Functie cu un unic punct fix

[Radu Titiu]

Fie \( A \) o submultime finita a lui \( \mathbb{R} \) si functia \( f:A \to A \) cu proprietatea ca \( |f(x)-f(y)|<|x-y|, \forall x,y \in A ,x\neq y \). Aratati ca exista si este unic \( a \in A \) a.i. \( f(a)=a \).

[Marius Mainea]

Fie \( x\neq y \) din multimea A si notam \( f^{(n)}(x)=f\circ f\circ...\circ f(x) \) compunerea facandu-se de n ori.

Daca presupunem prin absurd ca \( f^{(n)}(x)\neq f^{(n)}(y) \) pentru orice n natural atunci contrazicem principiul descendentei infinite al lui Fermat, MIDF deoarece

\( |x-y|>|f(x)-f(y)|>...|f^{(k)}(x)-f^{(k)}(y)|>.... \)

Asadar exista un \( n_{(x,y)}\in \mathbb{N} \) astfel incat pentru orice \( n\ge n_{(x,y)} \), \( f^{(n)}(x)=f^{(n)}(y) \)

Procedand analog pentru toate perechile (x,y) din AxA si alegand maximul \( n_0 \) dintre toate valorile \( n_{(x,y)} \) obtinem ca

\( f^{(n)}(x)=constant=x_0\in A \) pentru orice x din A si pentru orice \( n\ge n_0 \)

Asadar alegand un a arbitrar din A \( f(f^{(n_0)}(a))=f^{(n_0+1)}(a)=x_0=f^{(n_0)}(a) \) deci \( f^{(n_0)}(a) \) este punct fix si evident e unic.