In cubul ABCDA'B'C'D' de muchie ,,a'' notam M mijlocul lui B'C' , N mijlocul lui AA' si P centrul bazei ABCD.
a) Demonstrati ca planul (MNP) sectioneaza cubul dupa un pentagon.
b) Determinati aria pentagonului de sectiune in functie de muchia cubului.
,,Cezar Ivanescu''2004
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
a) Fie \( E\in A^{\prime}B^{\prime} \) astfel incat \( A^{\prime}E=\frac{a}{4} \)
\( Q\in AD \) astfel incat \( AQ=\frac{a}{6} \) si
\( Q\in BC \) astfel incat \( RC=\frac{a}{6} \)
Atunci sectiunea este pentagonul \( [MENQR] \)
b) Proiectam pentagonul de sectiune pe planul A'B'C'D' dupa pentagonul MEA'Q'R' a carui arie este \( \frac{5a^2}{16} \)
Atunci \( A_{[MENQR]}=\frac{A_{[MEA^{\prime}Q^{\prime}R^{\prime}]}}{\cos\alpha}=\frac{5a^2\sqrt{14}}{16} \)
unde \( \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{14}} \) este cosinusul unghiului diedru dintre cele doua plane.
\( Q\in AD \) astfel incat \( AQ=\frac{a}{6} \) si
\( Q\in BC \) astfel incat \( RC=\frac{a}{6} \)
Atunci sectiunea este pentagonul \( [MENQR] \)
b) Proiectam pentagonul de sectiune pe planul A'B'C'D' dupa pentagonul MEA'Q'R' a carui arie este \( \frac{5a^2}{16} \)
Atunci \( A_{[MENQR]}=\frac{A_{[MEA^{\prime}Q^{\prime}R^{\prime}]}}{\cos\alpha}=\frac{5a^2\sqrt{14}}{16} \)
unde \( \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{14}} \) este cosinusul unghiului diedru dintre cele doua plane.