mateforum.ro

Daca \( f,g:\[ a,b \] \rightarrow \mathbb {R} \) sunt derivabile pe \( \[ a,b \] \) si daca \( f(a)=g(a)=0 \), atunci exista un punct \( c \in \( a,b \) \) astfel incat sa avem
\( f^{\prime}(c)\cdot {\int_a^b g(t)dt} = g^{\prime}(c) \cdot {\int_a^b f(t)dt} \)


Tudorel Lupu, GM

Cazul 1) Daca exista \( d\in(a,b] \) astfel incat \( f(d)=g(d)=0 \) atunci aplicam teorema lui Rolle functiei \( g(x)=f(x)\int_a^bg(t)dt-g(x)\int_a^bf(t)dt \) pe intervalul [a,d].


Cazul 2) \( f(x)\neq 0 \) sau \( g(x)\neq 0 \) \( (\forall)x\in (a,b] \)

Aplicand teorema lui Cauchy functiilor \( x \longrightarrow \int_a^xg(t)dt,x \longrightarrow \int_a^xf(t)dt \) obtinem un punct \( d\in (a,b) \) astfel incat

\( f(d)\int_a^bg(t)dt=g(d)\int_a^bf(t)dt \) (*)

Aplicand inca o data teorema lui Cauchy functiilor \( x \longrightarrow g(x),x \longrightarrow f(x) \) obtinem un punct \( c\in (a,d) \) astfel incat

\( f^{\prime}(c)g(d)=g^{\prime}(c)f(d) \) (**)

Presupunand ca \( g(d)\neq 0 \) , inmultind relatia (*) cu \( g^{\prime}(c) \) , folosind (**) si simplificand prin g(d) obtinem concluzia.

Analog daca \( f(d)\neq 0 \).

Sunt îndeplinite condiţiile pentru a putea aplica teorema Cauchy? Nu avem garanţia că pentru funcţia de la numitor nu se anulează derivata.

Teorema lui Cauchy are loc daca nu se impune conditia ca derivata sa fie nenula, dar cu conditia ca relatia din concluzie sa fie scrisa fara fractii, adica \( (f(b)-f(a))g^{\prime}(c)=(g(b)-g(a))f^{\prime}(c) \).

Se aplica teorema lui Rolle.

Marius Mainea wrote:Teorema lui Cauchy are loc daca nu se impune conditia ca derivata sa fie nenula, dar cu conditia ca relatia din concluzie sa fie scrisa fara fractii, adica \( (f(b)-f(a))g^{\prime}(c)=(g(b)-g(a))f^{\prime}(c) \).

Se aplica teorema lui Rolle.

Ok, dar e derutantă referirea la Cauchy. Se aplică pur şi simplu Rolle pentru \( (f(b)-f(a))g-(g(b)-g(a))f \).

Am gasit si o solutie ce se bazeaza doar pe teorema de medie:
Fie \( A=\int\limits_a^b f(t)dt \) si \( B=\int\limits_a^b g(t)dt \).

Luam \( \alpha(t)=f^\prime(t)\cdot B - g^\prime(t)\cdot A \).
Problema se reduce la a arata ca \( \exists c \) a.i. \( \alpha(c)=0 \).

Fie \( \beta(x)=\int\limits_a^x \alpha(t)dt=B\int\limits_a^x f^\prime(t)dt-A\int\limits_a^x g^\prime(t)dt=Bf(x)-Ag(x) \).

\( \int\limits_a^b \beta(x)dx=B\int\limits_a^b f(x)dx - A\int\limits_a^b g(x)dx=BA-AB=0 \).
\( \Rightarrow \exists \xi \) a.i. \( \beta(\xi)=0 \).
\( \Rightarrow \int\limits_a^\xi \alpha(t)dt=0\Rightarrow \exists c \) a.i. \( \alpha(c)=0 \).