Calcul de limite fara derivate

[Claudiu Mindrila]

Calculati fara a folosi functii derivate:

a) \( \lim_{x\to 0}\frac{\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}-e}{x} \).

b) \( \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\sin x}{x^{3}} \).

[Virgil Nicula]

Le poti face fara derivate, in particular regulile lui l'Hospital numai daca in prealabil dovedesti ca urmatoarele limite de functii exista : \( \lim_{x\to 0}\frac {x-\sin x}{x^3} \) si \( \lim_{x\to 0}\frac {x-\ln(x+1)}{x^2}\ . \)

Sunt si eu curios sa vad daca cineva imi poate dovedi ca aceste limite exista, bineinteles fara derivate ...

[Laurian Filip]

\( f(x)=\frac{x-\sin x}{x^3} \)

Stim ca functia sin este impara, rezulta ca
\( f(-x)=\frac{-x -\sin{(-x)}}{-x^3}=\frac{x-\sin x}{x^3}=f(x) \).

Deci in punctul \( x_0=0 \) limita la stanga si cea la dreapta a lui \( f \) sunt egale. Asadar exista limita in \( x_0=0 \).

\( g(x)=\frac{x-\ln(x+1)}{x^2} \)

Stim ca \( \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+\frac{2x}{1-x})}{\frac{2x}{1-x}}=1 \), adica \( \lim_{x\to 0}{\frac{\ln(1+\frac{2x}{1-x})}{2x}=1 \)

\( \lim_{x\to 0}({-x-\ln(1-x)})=\lim_{x\to 0}(x-\ln(1+x)) \)

Rezulta \( \lim_{x\to 0} g(x)=\lim_{x\to 0} g(-x) \).

Asadar exista limita in \( x_0=0 \).

[Radu Titiu]

De unde stii ca exista limite laterale ? Daca exista, da, atunci sunt egale.

[Virgil Nicula]

Laurian Filip "a muscat" din "MERE TREABA" -avatarul lui Radu Titiu ... Ne a "demonstrat" ca limita oricarei functii impare in punctul de acumulare \( 0 \) exista... Dovada fara derivate a existentei acestor limite este o problema interesanta, poate ne ajuta universitarii.

[Beniamin Bogosel]

Se poate incerca cu dezvoltarea in serie Taylor a lui sinus in jurul lui 0. Cu asta gasim direct si existenta limitei si limita.

[Laurian Filip]

Daca am sti ca limita exista, asa s-ar putea rezolva b)

b) \( sin(3t)=sin(t)cos(2t)+sin(2t)cos(t)= \)
\( sin(t)(1-2sin^2(t))+2sin(t)cos^2(t)
sin(t)(1-2sin^2(t)+2-2sin^2t)= \)
\( 3sin(t)-4sin^3t \)

Fie \( x=3t \)

\( \lim_{x\to\0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\lim_{t\to\0}\frac{3t-\sin(3t)}{27t^3}= \)
\( \lim_{t\to\0}\frac{3t-3\sin t}{27t^3}+\frac{4\sin^3t}{27t^3}=\lim_{t\to\0}\frac{t-\sin t}{9t^3}+\frac{4}{27} \cdot \left( \frac{\sin t}{t} \right)^3 \)

Fie \( l=\lim_{x\to\0}\frac{x-\sin x}{x^3} \).

Rezulta in relatia de mai sus ca:

\( l=\frac{l}{9}+\frac{4}{27} \)
\( l=\frac{1}{6} \)

[Virgil Nicula]

Frumos, Laurian Filip ! Intr-adevar, aceasta-i solutia daca in ipoteza se afirma (numai !) existenta limitei si ca este finita. In cartea mea de Analiza matematica de la Ed. TEORA, in debutul capitolului "Regulile lui l'Hospital" sunt numeroase asemenea exemple, rezolvate in ipoteza mentionata si fara regulile lui l"Hospital, care limite, in afara acestei ipoteze, nu se pot face decat cu regulile l'Hospital repetate chiar de doua, trei ori. Insa problema care se pune aici este aceasta : dovada fara derivate a existentei acestor limite. Este o problema interesanta si repet, poate ne ajuta universitarii.

[Jianu.Ovidiu]

Pentru b) folosim Dezvoltarea lu' Taylor pentru functia \( \sin{x} \):

\( \lim_{x \to 0}{\frac{x-\sin x}{x^3}} = \frac{x-(x-\frac{x^3}{3!}+...)}{x^3} = \frac{1}{6} \)

[Virgil Nicula]

Taylor inseamna in primul rand derivate ... Asa ca mai usor era cu l'Hospital (pana gaseai seria
corespunzatoare, o terminai deja !). Aici este alta problema ... Citeste te rog cu atentie mesajele precedente.